अधिकतम का पता लगाना $x+y+z$ [बंद किया हुआ]

Question

यदि सकारात्मक संख्या $x, y$ तथा $z$ उस पर संतोष करें $xyz=1$, क्या माइनम मूल्य के लिए है $x+y+z$?

से $xyz=1$, हम प्राप्त कर सकते हैं $$x = \frac{1}{yz};\space\space\space y = \frac{1}{xz};\space\space\space z = \frac{1}{xy}; $$

उन्हें सब्सक्राइब करें $x+y+z=1$ और मुझे मिल गया$$\frac{xy+yz+xz}{xyz} = xy+yz+xz = 1$$

चूंकि हम न्यूनतम खोज रहे हैं $x+y+z$, मैंने सूत्र का उपयोग करने के बारे में सोचा $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+xz)$ इस तथ्य के कारण कि हमारे पास मूल्य है $xy+yz+xz$।

यही सब मुझे अब तक मिला है। मैं कैसे जारी रख सकता हूं?

Answer 1

AM-GM असमानता का उपयोग करें,

$$\frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt [3]{xyz}$$

$$x+y+z \ge 3$$

न्यूनतम है $3$ और कोई अधिकतम नहीं है।

Answer 2

ज्यामिति द्वारा:

समीकरण की सतह $xyz=1$(इसका नाम नहीं पता) एक "हाइपरबोलिक-जैसी" आकृति वाला एक क्यूबिक है, क्योंकि एक निरंतर समन्वय के एक विमान द्वारा किसी भी क्रॉस सेक्शन को हाइपरबोला है। इसमें क्रम की समरूपता है$3$ अक्ष के आसपास $x=y=z$, और अनंत की ओर खुला है।

विमान द्वारा वर्गों $x+y+z=c$ बंद वक्र हैं, जिनसे शुरू होता है $c=3$ और नीरसता और विस्तार से।

न्यूनतम है $c=3$ और कोई अधिकतम नहीं है।