अगर $\{a_n\}$ एक सकारात्मक अनुक्रम है और $b_n := a_1/a_2 + \dotsb + a_{n-1}/a_n + a_n/a_1$, तो दिखाओ $\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$।
लश्कर $a_n$ एक सकारात्मक क्रम हो।
हम परिभाषित करते हैं $b_n$ निम्नलिखित के रूप में:
$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$$
प्रश्न: सिद्ध कीजिए$\lim b_n=\infty$।
मेरे सुझाए गए समाधान: मैं विपरीत साबित करने में सक्षम था (कि सीमा अनंत नहीं है), क्या आप मुझे दिखा सकते हैं कि मैंने क्या गलत किया?
मैंने लिया $a_n$ निम्नलिखित के रूप में: $1,1,2,8,64,1024,\dots$ फिर $b_n$ है: $$1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \dotsb + a_n.$$ अंतिम को छोड़कर पहले तत्व एक ज्यामितीय प्रगति का योग हैं जो कि अभिसरण करता है $2$ कब $n$ बहुत बड़ी हो जाती है इसलिए समग्र सीमा होती है $2+a_n$ जो सुनिश्चित करने के लिए अनंत नहीं है ...
जवाब
आपके प्रतिसाद में कुछ काम नहीं करता है, वास्तव में आप मान रहे हैं
$$\large {a_n=2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}}\to \infty$$
और इसीलिए
$$b_n= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} + a_n\ge a_n \to \infty$$
यह साबित करने के लिए $b_n \to \infty$, AM- जीएम द्वारा हम है कि
$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1} \ge n \sqrt[n]{\frac{a_1}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_3} \cdot \ldots \cdot \frac{a_{n-1}}{a_n} \cdot \frac{a_n}{a_1}}=n\cdot 1=n\to \infty$$
फिर निचोड़ प्रमेय द्वारा निष्कर्ष निकालना।
हम लिख सकते है
$$b_n=c_1+c_2+c_3+\cdots c_{n-1}+\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}$$ जहां $c_k$ पॉजिटिव नंबर हैं।
का न्यूनतम मूल्य $b_n$ ग्रेडिएंट को रद्द करके पाया जाता है,
$$\forall k:1-\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}c_k}=0$$ या $$c_k=\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}=\frac1p.$$
उपाय है $p=c_k=1$ तथा $b_n=n$ जैसा कि @user द्वारा स्वतंत्र रूप से पाया गया, सबसे छोटा संभव योग है।