अगर $A$ नोथेरियन है, तो हर भिन्नात्मक आदर्श है $x^{-1} \frak{a}$ कुछ आदर्श के लिए $\frak{a}$ का $A$
[कथन] अगर $A$ नोथेरियन है, तो हर भिन्नात्मक आदर्श है $x^{-1} \frak{a}$ कुछ आदर्श के लिए $\frak{a}$ का $A$, $x \in A$।
[प्रयास]
मुझे यह अतिया मैकडोनाल्ड कम्यूटेटिव बीजगणित, अध्याय 9, पृष्ठ 96, भिन्नात्मक आदर्शों में मिलता है।
वे कहते हैं अगर $A$ नोथेरियन है, तो हर भिन्नात्मक आदर्श है $x^{-1} \frak{a}$ कुछ आदर्श के लिए $\frak{a}$ का $A$, $x \in A$ इसलिए प्रत्येक भिन्नात्मक आदर्श सूक्ष्मता से उत्पन्न होता है।
यह ठीक है "इसलिए कभी भिन्नात्मक आदर्श सूक्ष्मता से उत्पन्न होता है" क्योंकि $A$ noetherian इतना आदर्श है $\frak{a}$ सूक्ष्मता से उत्पन्न होता है।
हालांकि, ऊपर दिए गए बयान को कैसे दिखाया जाए?
चलो $M$भिन्नात्मक आदर्श होना। फिर परिभाषा से, वहाँ है$\frac{b}{a} \in K:=\text{Frac}(A)$ ऐसा है कि $\frac{a}{b} M \subseteq A $, तोह फिर $M \subseteq \frac{b}{a}A$।
अगला कदम क्या है?
जवाब
चलो $\{m_i\}_{i\in I}$ उत्पन्न करना $M$ एक के रूप में $A$-मापांक। फिर ऐसे$m_i A\subseteq M\subseteq\frac{b}{a}A,$ यह इस प्रकार है कि $m_i\in\frac{b}{a}A.$ इस प्रकार, प्रत्येक के लिए $i,$ हम लिख सकते हैं $$m_i = \frac{b_i}{a},$$ साथ से $b_i\in A.$ यह बताता है कि \begin{align*} M &= \sum_{i\in I} m_i A\\ &=\sum_{i\in I}\frac{b_i}{a}A\\ & = \frac{1}{a}\sum_{i\in I}b_i A. \end{align*} पर अब $\sum_{i\in I}b_i A$ का आदर्श है $A$ द्वारा उत्पन्न $b_i,$ तो हम कर रहे हैं।