अगर $ \bigtriangleup ABC$: $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, ऊंचाई के साथ $AD$ और मंझला $AK$। साबित करना $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC.$

Aug 18 2020

अगर $\triangle ABC$ एक त्रिकोण है और $\angle CAB = \frac{\pi}{2}$, ऊंचाई के साथ $AD$ और मंझला $AK$; मान लो कि$D$ के बीच $B$ तथा $K$

  1. साबित करो $\angle BAD = \angle BCA = \angle KAC$
  2. फिर, यह साबित करें $\angle BCA= \frac\pi 8$ अगर $|AD|=|DK|$
  3. इसका निष्कर्ष निकालें $$\sin\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2};\quad \cos\frac \pi 8=\frac{\sqrt{2+\sqrt 2}}{2};\quad \operatorname{tg}\frac \pi 8= \sqrt 2 - 1$$

मैंने पहले ही ड्रॉ हासिल कर लिया है, लेकिन मैं वास्तव में नहीं जानता कि कैसे शुरू किया जाए।

मुझे पता है $\bigtriangleup DBA \sim \bigtriangleup DAC$

जवाब

AlexeyBurdin Aug 18 2020 at 15:21

के परिधि पर विचार करें $\triangle ABC$। जबसे$\angle A=\frac{\pi}{2}$, यह व्यास को घटाता है, इस प्रकार $K$ परिधि है और $$KA=KB=KC\tag{1}$$

  1. जबसे $\triangle KCA$ समद्विबाहु है, $\angle KCA=\angle KAC$
    में$\triangle ABD$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, इस प्रकार $\angle BAD=\frac{\pi}{2}-\angle ABD$, परंतु $\frac{\pi}{2}-\angle ABC=\angle ACB$, इस प्रकार $\angle BAD=\angle ACB=\angle KAC$, QED
  2. में $\triangle ADK$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$, इस प्रकार $|AD|=|DK|$ $\Rightarrow$ $\angle A=\angle K=\frac{\pi-\angle D}{2}=\frac{\pi}{4}$
    जबसे$\frac{\pi}{4}=\angle AKD=\angle KAC+\angle KCA$ तथा $\angle KAC=\angle KCA$, इस प्रकार $\angle ACK=\frac{\pi}{8}$, QED
  3. में $\triangle ADC$ $\ \ \angle D=\frac{\pi}{2}$ तथा $AK=KC=AD\sqrt{2}$ इस प्रकार $$\tan \frac{\pi}{8}=\frac{AD}{DK+KC}=\frac{AD}{AD+AD\sqrt{2}}= \frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1,$$ के अन्य कार्य $\frac{\pi}{8}$ का उपयोग करके किया जाता है $$\frac{1}{\cos^2\theta}=1+\operatorname{tg}^2\theta,\quad \frac{1}{\sin^2\theta}=1+\operatorname{ctg}^2\theta.$$
MichaelRozenberg Aug 18 2020 at 13:58

लश्कर $D$ के बीच रखा जाए $K$ तथा $B$

इस प्रकार, चूंकि $AK$ एक मंझला है, हम प्राप्त करते हैं $$AK=CK=KB,$$ जो देता है $$\measuredangle BAD=90^{\circ}-\measuredangle ABC=\measuredangle BCA=\measuredangle KAC.$$

SarGe Aug 18 2020 at 15:11
  1. चूँकि आपने इसका पता लगा लिया है $\triangle DBA \sim \triangle DAC$, गुण का उपयोग करें जो समान त्रिभुजों के संबंधित कोण समान हैं। इसके अलावा, ध्यान दें कि$AK=KC$, इसलिये $\triangle KAC$ समद्विबाहु है।

  2. अगर $AD=DK$, हमारे पास है $\angle DKA=\angle KAD=45°\implies\angle AKC=135°$। इस प्रकार,$\triangle KAC$ समद्विबाहु होने के नाते, हमारे पास है $\angle BCA=22.5°=\frac{π}{8}$

  3. हमारे पास है $AK=KC=\frac{a}{2}\implies AD=DK=\frac{a}{2\sqrt 2}$। में$\triangle ADC$, $$\tan\angle DCA=\tan\frac{π}{8}=\sqrt 2-1$$