अगर $f$ आदेश की एक पोल है $m$ पर $z_0$, तब फिर $\frac{1}{f}$ पर एक हटाने योग्य विलक्षणता है $z_0$।

Aug 17 2020

मेरी पाठ्य पुस्तक कहती है कि

  • अगर $f$ आदेश की एक पोल है $m$ पर $z_0$, तब फिर $\frac{1}{f}$ पर एक हटाने योग्य विलक्षणता है $z_0$, और अगर हम परिभाषित करते हैं $(\frac{1}{f})(z_0) = 0$, तब फिर $\frac{1}{f}$ शून्य का क्रम है $m$ पर $z_0$

लेकिन मैं सोच रहा हूँ, जब से $f = \frac{g(z)}{(z-z_0)^m}$ कहां है $g(z)$ एनालिटिक और नॉनज़रो है $z_0$, $\frac{1}{f}$, जो बराबर है $\frac{(z-z_0)^m}{g(z)}$, निश्चित रूप से विश्लेषणात्मक है $z_0$ और ऑर्डर का एक शून्य है $m$ पर $z_0$। यदि यह विश्लेषणात्मक है$z_0$, तब फिर $z_0$ एक विलक्षणता बिंदु नहीं हो सकता।

मेरी पाठ्य पुस्तक क्यों कहती है $z_0$ एक हटाने योग्य विलक्षणता और परिभाषित है $(\frac{1}{f})(z_0) = 0$?

जवाब

1 ureui Aug 17 2020 at 10:01

आपका कार्य $\frac{1}{f}$ केवल के एक पड़ोस पर परिभाषित किया गया है $z_0$ जो बाहर है $z_0$तो आपको वास्तव में इसे परिभाषित करना होगा। असल में,$\frac{1}{f}= \frac{(z-z_0)^m}{g(z)}$ कर देता है $\textbf{not}$ समझ में आता है $z_0$

RobertLewis Aug 17 2020 at 10:04

हमने ध्यान दिया कि $z_0$ के डोमेन में नहीं है $\frac{1}{f}$ जबसे $f(z)$एक प्राथमिकता पर परिभाषित नहीं है$z_0$परिभाषित करके इस स्थिति को दूर किया जा सकता है $\frac{1}{f}(z_0)$ एक तरीके से निरंतरता के साथ, बुद्धि के लिए:

हम परिभाषित करते हैं

$\left (\dfrac{1}{f} \right )(z_0) = 0 \tag 1$

इसलिये

$\displaystyle \lim_{z \to z_0} \dfrac{(z - z_0)^m}{g(z)} = 0. \tag 2$