अगर $f$ एक वास्तविक कार्य है, जो निरंतर है $a$ तथा $f(a) < M$, तो एक खुला अंतराल है $I$ इस तरह से युक्त $f(x) < M$ सबके लिए $x \in I$।
I के बारे में समस्या है कि अगर f एक वास्तविक फ़ंक्शन है, तो a और f (a) उत्तर। अगर मैंने इस्तेमाल किया$\epsilon =M-f(a)$ यह भी जो $\epsilon >0$ तथा $ \exists$ $ \delta>0$ इसलिए एक खुला अंतराल है $I$ इस तरह से युक्त $f(x)<M$ सबके लिए $x \in I$। मुझे लगता है कि यह भी सही है लेकिन निश्चित नहीं है।
क्या कोई मेरे उत्तर को सत्यापित कर सकता है?
$\underline{Edit}$
अब छोडो $\epsilon = {M-f(a)}$, स्पष्ट रूप से $\epsilon >0$, और इसलिए एक खुला अंतराल मौजूद है $I=(a-\delta, a+\delta)$, ऐसा किसी के लिए भी $x\in I$, $|f(x)-f(a)|<\epsilon= {M-f(a)}$ धारण करता है।
यह इस प्रकार है कि $f(x)<M$ सबके लिए $x \in I$
जवाब
वह दशा जो $f$ निरंतर है $a$इंगित करता है कि \ स्टार्ट {समीकरण} \ लिम_ {एक्स \ _ ए} एफ \ लेफ्ट (एक्स \ राइट) = एफ \ लेफ्ट (एक ए राइट)। \ अंत {समीकरण} दूसरे शब्दों में, हमारे पास निम्नलिखित प्रस्ताव है: \ start {समीकरण} \ forall \ epsilon> 0, \ अस्तित्व \ डेल्टा> 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert </ डेल्टा <longtaarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ बाएँ (a \ right) \ rvert <\ epsilon। \ end {समीकरण} और हमारे पास प्रस्ताव है कि \ start {समीकरण} f \ left (a \ right) <M. \ end {समीकरण} इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि$M - f\left(a\right) > 0$, हमारे पास \ समीकरण {\ _} मौजूद है / डेल्टा \ 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow \ lvert f \ left (x \ right) -f \ बाएँ (a \ right) \ rvert <M - f \ left (a \ right), \ end {समीकरण} जो आगे इंगित करता है कि \ start {समीकरण} \ मौजूद \ डेल्टा \ 0, \ forall x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ longrightarrow f \ left (x \ right) <M. \ लेबल {main} \ end {समीकरण} यदि ऐसा कोई खुला अंतराल नहीं है$I$ उस $f\left(x\right) < M$ सबके लिए $x \in I$, तो हमारे पास निम्न प्रस्ताव है: \ start {समीकरण} \ forall \ delta> 0, \ अस्तित्व x, 0 <\ lvert xa \ rvert <\ delta \ wedge f \ left (x \ right) \ geq M, \ लेबल {उप} \ अंत {समीकरण} जो स्पष्ट रूप से हमारे निष्कर्ष का विरोध करता है।