अगर $(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ निरंतर और अभिसरण हैं $f$ बिंदुवार, अवश्य $f$हो रीमैन इंटग्रैबल? [डुप्लीकेट]

Question

मैं निम्नलिखित प्रश्न को हल करने का प्रयास कर रहा हूं

सही या गलत? अगर$(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ निरंतर कार्यों का एक क्रम है, जो कि अभिसरण करता है $f$ बिंदुवार, तब $f$ रीमैन पूर्णांक और है $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$

टिप्पणियों की मदद से मुझे यह प्रतिसाद मिला , लेकिन मैं उम्मीद कर रहा हूं कि एक सरल है।

अगर हम लेबेन्ग इंटीग्रल्स द्वारा रीमैन इंटीग्रल्स को प्रतिस्थापित करते हैं, तो परिणाम डोमिनेटेड कन्वर्जेंस प्रमेय द्वारा सच होता है। इसका तात्पर्य यह है कि यदि$f$ रीमैन इंटाग्रैबल है, फिर वास्तव में $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$ तो एक प्रतिसाद की तलाश में, हमें एक को खोजने की कोशिश करनी चाहिए $f$ क्या रीमैन पूर्णांक नहीं है।

किसी भी सहायता के लिए आपका बहुत - बहुत धन्यवाद।

Answer 1

क्लासिक प्रतिधारण निम्नलिखित है: $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$। चलो$f_n(x)=\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$ (जो मौजूद है क्योंकि यह एक सकारात्मक घटते क्रम की सीमा है), या तो वहां मौजूद है $n_0$ ऐसा है कि $f_{n_0}$ रीमैन-पूर्णांक नहीं है, जो प्रतिरूप बनाता है क्योंकि $x\mapsto\cos(n! \pi x)^{2m}$ सभी के लिए रीमैन-पूर्णांक है $m$, या तो $f_n$ सभी रिमान-पूर्ण हैं, लेकिन तब से $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ रीमैन-पूर्णांक और नहीं है $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)$, तो यह एक प्रतिरूप है।