अगर $g$ एक निरंतर और बढ़ता हुआ कार्य है $x$, साबित करो $g(X)$ एक यादृच्छिक चर है।
ग्रिमेट स्टिरज़ैकर से 2.3.12 व्यायाम Probability and Random processesनिम्नलिखित पूछता है। मुझे पसंद है, अगर आप लोग मेरे समाधान को सत्यापित करने में मदद कर सकते हैं।
लश्कर $X$ एक यादृच्छिक चर और हो $g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$निरंतर और सख्ती से बढ़ रहा है। वो दिखाओ$Y = g(X)$ एक यादृच्छिक चर है।
मेरा समाधान।
जैसा $g$एक नीरस रूप से बढ़ता हुआ कार्य है, यह इंजेक्टिव (वन-टू-वन) है। वह है, अगर$x_1 < x_2$, तब फिर $g(x_1) < g(x_2)$। इसलिए,$x_1 \ne x_2 \implies g(x_1) \ne g(x_2)$।
मुझे यकीन नहीं है कि कैसे कटौती की जाएगी $g$ (विशेषण) है।
अगर $g$ द्वंद्वात्मक, व्युत्क्रम फलन है $g^{-1}$ मौजूद है और अच्छी तरह से परिभाषित है।
इसलिए, सेट
\begin{align*} &\{ \omega : g(X(\omega)) \le x \}\\ =&\{ \omega : (X(\omega) \le g^{-1}(x) \} \in \mathcal{F} \end{align*}
जबसे $X$एक यादृच्छिक चर है। इसके फलस्वरूप,$g(X)$ एक यादृच्छिक चर है।
जवाब
की निरंतरता और सख्त एकरसता $g$अप्रासंगिक हैं। जो आवश्यक है वह है$g$एक बोरेल फ़ंक्शन है। ध्यान दें कि या तो हालत "$g$ निरंतर है ","$g$ मोनोटोनिक बढ़ रहा है "का अर्थ है कि $g$ एक बोरेल फ़ंक्शन है।
मान लो कि $g$एक बोरेल फ़ंक्शन है। लश्कर$A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$। उसका अवलोकन करो$g(X)^{-1}(A) = X^{-1}(g^{-1}(A))\in\mathcal{F}$ इसलिये $g^{-1}(A)$एक बोरेल सेट है। अत$g(X)$ है $\mathcal{F}/\mathcal{B}(\mathbb{R})$-measurable, यानी, एक यादृच्छिक चर।