अगर $V_n(a)$ क्रमानुसार अनुक्रम में परिवर्तन के संकेत $\cos a, \cos2a,\cos3a,\ldots,\cos na,$ वो दिखाओ $\lim_{n\to\infty}\frac{V_n(a)}n=\frac{a}\pi$

Aug 18 2020

चलो $0\leq\alpha\leq \pi $$V_n (\alpha) $ अनुक्रम में संकेत परिवर्तनों की संख्या को निरूपित करें $\cos\alpha,\cos2\alpha,\cos3\alpha,\ldots,\cos n\alpha $। फिर वह सिद्ध करो$$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{V_n (\alpha)}{n}=\dfrac{\alpha}{\pi}.$$

मैंने एक संकेत देखा जहां $\dfrac{V_n (\alpha)}{n}$संभावना के रूप में माना जाता है। मेरा मतलब है कि यह अभिव्यक्ति कैसे किसी चीज की संभावना है। यदि यह है, तो मैं इस तरह से कैसे आगे बढ़ सकता हूं?

अपडेट: मेरे पास इस समस्या का हल है

में $n\alpha$ पूर्ण चक्र घूमने वाले चक्रों की संख्या को घुमाना $=\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor$

एक पूर्ण चक्र में रोटेशन साइन परिवर्तन 2 बार होता है। इसलिए में$\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor$ पूर्ण रोटेशन साइन परिवर्तन पश्चात $=2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor$

अब बाकी कोण है $n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor\times2\pi$

यदि हम 0 के मामले में संकेत के परिवर्तन के रूप में मानते हैं $\cos\left( \dfrac{\pi}{2}\right)$ तथा $\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)$ तब फिर:-

(१) यदि $0\leq n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi<\dfrac{\pi}{2 }$ संकेत 0 बार बदलता है

(२) यदि $\dfrac{\pi}{2 }\leq n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi<\dfrac{3\pi}{2 }$ 1 बार साइन इन करें

(३) यदि $\dfrac{3\pi}{2 }\leq n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi<2\pi$ साइन 2 बार बदलता है

चलो $f$ ऐसा कार्य करें $$f\left(\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor\right)=\begin{cases}0,\text{ when }\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor=0\\ 1,\text{ when }\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor=1\\ 1,\text{ when }\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor=2\\ 2,\text{ when } \left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor=3\end{cases}$$

इसलिए $\dfrac{V_n(\alpha)}{n}=\dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor+ f\left(\left\lfloor \dfrac{n\alpha-\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha }{2\pi }\bigg\rfloor\times 2\pi}{\dfrac{\pi}{2}}\right\rfloor\right)}{n}$

इसलिये $$\dfrac{V_n(\alpha)}{n}\geq \dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor}{n}$$ तथा $$\dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor+ 2}{n}\leq \dfrac{V_n(\alpha)}{n}$$

$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor}{n}=\dfrac{\alpha}{\pi}$ तथा $\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{2\bigg\lfloor\dfrac{n\alpha}{2\pi}\bigg\rfloor+ 2}{n}=\dfrac{\alpha}{\pi}$

इसलिए सैंडविच प्रमेय से हमें मिलता है $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{V_n(\alpha)}{n}=\dfrac{\alpha}{\pi}$ [साबित]

क्या यह सही है?

जवाब

2 OmranKouba Aug 18 2020 at 17:15
  • मैं मानूंगा कि मामला कहां है $\alpha\in \pi \mathbb{Q}$ आसान है, क्योंकि अनुक्रम $\big(\cos(k\alpha)\big)_{k\ge1}$ इस मामले में आवधिक है, और अगर हम विचार करें $0$ तब सकारात्मक संख्या के रूप में $V_{2q}(p\pi/q)=2p\pm 1$ और परिणाम इस मामले में है।
  • अब हम मान लेते हैं $\alpha\notin \pi\mathbb{Q}$। इसका तात्पर्य है कि क्रम$\big(k\alpha \mod(2\pi)\big)_{k\geq 1}$ में समतुल्य है $[0,2\pi]$। समतुल्य क्रम देखें ।

अब छोडो $f$ बनो $2\pi$ द्वारा निर्धारित आवधिक कार्य $$f(\theta)=\cases{0, & if $\ cos \ theta \ cos (\ थीटा + \ अल्फा) \ geq0$,\\ 1,& if $\ cos \ theta \ cos (\ थीटा + \ अल्फा) <0$.}$$ इस परिभाषा के साथ, $$V_n(\alpha)=\text{card}\left\{k\in\{1,\ldots,n\}:f(k\alpha)=1\right\}$$ लेकिन अगर हम परिभाषित करते हैं $$\mathcal{I}=\cases{\left(\frac{\pi}{2}-\alpha,\frac{\pi}2\right)\cup \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha,\frac{3\pi}2\right) ,&if $0 <\ Alpha <\ pi / 2$,\cr \left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup \left(\frac{3\pi}{2}-\alpha,\frac{3\pi}2\right)\cup\left(\frac{5\pi}{2}-\alpha,2\pi\right] ,&if $\ pi / 2 <\ Alpha <\ pi$.}$$ फिर के लिए $\theta\in[0,2\pi]$ अपने पास $$f(\theta)=1\iff \theta\in\mathcal{I}$$ तो, अनुक्रम के समतुल्य का तात्पर्य है कि $$\lim_{n\to\infty}\frac{V_n(\alpha)}{n}=\frac{\text{length}(\mathcal{I})}{2\pi}=\frac{\alpha}{\pi}$$ कर दी है।$\qquad\square$

2 Anatoly Aug 18 2020 at 15:30

सुझाव: चलो $ b_n\equiv n a \pmod {2\pi}$ इसके साथ बने कोण को इंगित करें $x$- में अक्ष $n^{th}$अनुक्रम की अवधि। मान लो की$b$ के बीच की सीमा में समान रूप से वितरित किया जाता है $0$ तथा $2\pi$

अब सबसे पहले उस मामले पर विचार करें जिसमें $0<b_n<\pi/2$ या $3\pi/2<b_n<2\pi$। अगले चरण में, केवल तभी साइन का परिवर्तन होगा$b_{n+1}>\pi/2$। क्या संभावना है कि यह होता है, कि दिया जाता है$b_{n+1}=b_n+a$?

फिर मामले में उसी विचार को दोहराएं जिसमें $\pi/2<b_n<3\pi/2$। संकेत का परिवर्तन तभी होगा जब$b_{n+1}>3\pi/2$। यह होने की संभावना क्या है?