अगर $X = \{ |p(z)|<c\}$, दिखाओ कि सीमा $X$ है $\{ |p(z)| = c\}$ और के प्रत्येक घटक $X$ का एक शून्य होता है $p$।
मैं एक संस्थान के जटिल विश्लेषण में समस्याओं की कोशिश कर रहा हूं जिसमें मैं अध्ययन नहीं करता हूं और मैं इस विशेष समस्या पर मारा हूं।
लश्कर $p$ एक गैर-स्थिर बहुपद हो, $c>0$ तथा $X=\{z:p(z)<c\}$। साबित करो$\partial X=\{z:|p(z)|=c\}$ और भी प्रत्येक जुड़े घटक $X$ एक शून्य होता है $p$।
प्रयास: चलो $C$ का जुड़ा घटक हो $X$। फिर$\partial C$ का सबसेट है $\partial X$ इसलिए $|p(z)| \leq c$। लेकिन मुझे लगता है कि इसके अलावा कोई अन्य तर्क नहीं दिया जा सकता।
इसलिए, कृपया इस समस्या के बारे में कुछ प्रकाश डाला जाए।
जवाब
के सरल गुण $p$:
i) चूंकि $p$ एक असंबद्ध बहुपद है, $p$हर जटिल मूल्य लेता है। इस प्रकार सेट करता है$X=\{|p|<c\}$ तथा $\{|p|=c\}$ गैर-खाली हैं।
ii) सेट $X$ की निरंतरता से खुला है $|p|.$
iii) $|p(z)|\to \infty$ जैसा $|z|\to\infty.$
Iii) से यह इस प्रकार है $X$क्या घिरा हुआ है। अन्यथा$X$ एक अनुक्रम शामिल होगा $z_n$ ऐसा है कि $|z_n|\to \infty,$ इसलिये $|p(z_n)|\to \infty,$ की परिभाषा का उल्लंघन $X.$
लश्कर $z\in \partial X.$ फिर $z$ में एक अनुक्रम की सीमा है $X.$ इसका अर्थ है $|p(z)|\le c.$ सकता है $|p(z)|<c$होता है? नहीं, क्योंकि तब$z\in X$और यह एक सीमा बिंदु नहीं हो सकता है। यह इस प्रकार है कि$\partial X\subset \{|p|=c\}.$
अब मान लीजिए $|p(z)|=c.$ लश्कर $r>0.$ फिर $p(D(z,r))$ ओपन मैपिंग प्रमेय द्वारा खुला है, इसलिए इसमें मापांक से कम अंक हैं $c$ और मापांक से अधिक के अंक $c.$ इस प्रकार $D(z,r)\cap X$ तथा $D(z,r)\cap X^c$दोनों गैर-खाली हैं। जबसे$r$ मनमाना था, $z\in \partial X.$ अंतिम पैराग्राफ के साथ यह साबित होता है $\partial X = \{|p|=c\}.$
अधिकतम मापांक प्रमेय को याद करें: मान लीजिए $U$एक बंधा हुआ खुला जुड़ा सेट है। लश्कर$f$ निरंतर रहो $\overline U$ और होलोमोर्फिक पर $U.$ यदि अधिकतम $|f|$ में होता है $U,$ फिर $f$ स्थिर है।
तो अब चलो $C$ का जुड़ा घटक हो $X.$ हम जानते है $\partial C \subset \partial X,$ जो ये दर्शाता हे $|p|=c$ पर $\partial C.$ और निश्चित रूप से $|p|<c$ में $C.$
मान लीजिये $C$ का शून्य नहीं होता है $p.$ फिर $p$ नॉनज़रो है $\overline C,$एक कॉम्पैक्ट सेट। इस प्रकार$|p|$ कुछ में कम से कम एक सकारात्मक प्राप्त करता है $z_0 \in \overline C.$ MMT द्वारा, $z_0\in C.$ लेकिन ध्यान दें $1/p$MMT की परिकल्पनाओं को संतुष्ट करता है। इस प्रकार, फिर से एमएमटी का उपयोग करते हुए,
$$\frac{1}{|p(z_0)|} < \max_{\partial C}\frac{1}{|p|} =\frac{1}{c}.$$
जबसे $|p(z_0|<c,$ हमारे पास एक विरोधाभास है, और हम कर रहे हैं।