अगर $X = \{ |p(z)|<c\}$, दिखाओ कि सीमा $X$ है $\{ |p(z)| = c\}$ और के प्रत्येक घटक $X$ का एक शून्य होता है $p$।

Aug 16 2020

मैं एक संस्थान के जटिल विश्लेषण में समस्याओं की कोशिश कर रहा हूं जिसमें मैं अध्ययन नहीं करता हूं और मैं इस विशेष समस्या पर मारा हूं।

लश्कर $p$ एक गैर-स्थिर बहुपद हो, $c>0$ तथा $X=\{z:p(z)<c\}$। साबित करो$\partial X=\{z:|p(z)|=c\}$ और भी प्रत्येक जुड़े घटक $X$ एक शून्य होता है $p$

प्रयास: चलो $C$ का जुड़ा घटक हो $X$। फिर$\partial C$ का सबसेट है $\partial X$ इसलिए $|p(z)| \leq c$। लेकिन मुझे लगता है कि इसके अलावा कोई अन्य तर्क नहीं दिया जा सकता।

इसलिए, कृपया इस समस्या के बारे में कुछ प्रकाश डाला जाए।

जवाब

1 zhw. Oct 04 2020 at 03:17

के सरल गुण $p$:

i) चूंकि $p$ एक असंबद्ध बहुपद है, $p$हर जटिल मूल्य लेता है। इस प्रकार सेट करता है$X=\{|p|<c\}$ तथा $\{|p|=c\}$ गैर-खाली हैं।

ii) सेट $X$ की निरंतरता से खुला है $|p|.$

iii) $|p(z)|\to \infty$ जैसा $|z|\to\infty.$

Iii) से यह इस प्रकार है $X$क्या घिरा हुआ है। अन्यथा$X$ एक अनुक्रम शामिल होगा $z_n$ ऐसा है कि $|z_n|\to \infty,$ इसलिये $|p(z_n)|\to \infty,$ की परिभाषा का उल्लंघन $X.$

लश्कर $z\in \partial X.$ फिर $z$ में एक अनुक्रम की सीमा है $X.$ इसका अर्थ है $|p(z)|\le c.$ सकता है $|p(z)|<c$होता है? नहीं, क्योंकि तब$z\in X$और यह एक सीमा बिंदु नहीं हो सकता है। यह इस प्रकार है कि$\partial X\subset \{|p|=c\}.$

अब मान लीजिए $|p(z)|=c.$ लश्कर $r>0.$ फिर $p(D(z,r))$ ओपन मैपिंग प्रमेय द्वारा खुला है, इसलिए इसमें मापांक से कम अंक हैं $c$ और मापांक से अधिक के अंक $c.$ इस प्रकार $D(z,r)\cap X$ तथा $D(z,r)\cap X^c$दोनों गैर-खाली हैं। जबसे$r$ मनमाना था, $z\in \partial X.$ अंतिम पैराग्राफ के साथ यह साबित होता है $\partial X = \{|p|=c\}.$

अधिकतम मापांक प्रमेय को याद करें: मान लीजिए $U$एक बंधा हुआ खुला जुड़ा सेट है। लश्कर$f$ निरंतर रहो $\overline U$ और होलोमोर्फिक पर $U.$ यदि अधिकतम $|f|$ में होता है $U,$ फिर $f$ स्थिर है।

तो अब चलो $C$ का जुड़ा घटक हो $X.$ हम जानते है $\partial C \subset \partial X,$ जो ये दर्शाता हे $|p|=c$ पर $\partial C.$ और निश्चित रूप से $|p|<c$ में $C.$

मान लीजिये $C$ का शून्य नहीं होता है $p.$ फिर $p$ नॉनज़रो है $\overline C,$एक कॉम्पैक्ट सेट। इस प्रकार$|p|$ कुछ में कम से कम एक सकारात्मक प्राप्त करता है $z_0 \in \overline C.$ MMT द्वारा, $z_0\in C.$ लेकिन ध्यान दें $1/p$MMT की परिकल्पनाओं को संतुष्ट करता है। इस प्रकार, फिर से एमएमटी का उपयोग करते हुए,

$$\frac{1}{|p(z_0)|} < \max_{\partial C}\frac{1}{|p|} =\frac{1}{c}.$$

जबसे $|p(z_0|<c,$ हमारे पास एक विरोधाभास है, और हम कर रहे हैं।