अनंत सेट के लिए योग की प्रक्रिया को सामान्य बनाना
आज मैंने खुद को सभी पूर्णांकों के योग के बारे में सोचकर पाया $\mathbb Z$।
हम वह जानते हैं $\mathbb Z$ एक गणनीय सेट है, इसका मतलब है कि हम सभी तत्वों को सूचीबद्ध कर सकते हैं $\mathbb Z$, इस प्रकार हम रकम का उपयोग करके समस्या को हल कर सकते हैं:
$$\sum_{z\in \mathbb Z}z=\sum_{z=1}^\infty z + (-z) = 0$$
इसलिए हमारे पास यह है कि सभी पूर्णांकों का योग 0. है। इसी तर्क से हमारे पास सभी तर्कसंगत संख्याओं का योग है $\mathbb Q$ भी 0 है।
मेरा पहला सवाल है: क्या यह तर्क वैध और सही है?
तब मुझे आश्चर्य होता है: फिर सभी वास्तविक संख्याओं का योग क्या है $\mathbb R$?
इसके विपरीत $\Bbb Z$ तथा $\Bbb Q$, सेट $\Bbb R$गिनने योग्य नहीं है। इसका मतलब है कि इनकी संख्या को सूचीबद्ध करना असंभव है$\Bbb R$और इस तरह एक राशि का उपयोग करके सभी संख्याओं को योग करना असंभव है। पहली बात जो मेरे दिमाग में आई वह थी अभिन्न। मैं कभी-कभी समन के निरंतर संस्करण की तरह अभिन्नता के बारे में सोचता हूं। तो हम सभी वास्तविक संख्याओं का योग व्यक्त कर सकते हैं:
$$\int_{-\infty}^\infty x \ dx = 0$$
यह हमें बेशुमार सेट के सभी तत्वों को योग करने की अनुमति देता है। के सभी तत्वों के उदाहरण के लिए$(0,1)$, इस विधि का उपयोग होगा:
$$\int\limits_{x\in (0,1)} x \ dx = \int_0^1 x \ dx = \frac{1}{2}$$
मेरा दूसरा सवाल है: क्या यह सामान्यीकरण सही है?
मेरा तीसरा प्रश्न तब होता है, जब यह मानते हुए कि यह विधि सही है, मैंने सभी अपरिमेय संख्याओं के योग की गणना करने का प्रयास किया। यदि विधि सही है, तो सभी अपरिमेय संख्याओं का योग होगा:
$$\int\limits_{x\in\mathbb I} x \ dx$$
लेकिन मुझे नहीं पता कि मैं अभिन्न का मूल्यांकन कैसे कर सकता हूं (क्योंकि मैं जो कह रहा हूं उसके लिए उचित गणितीय शब्द नहीं जानता हूं इसलिए मुझे खेद है अगर यह बहुत कठोर नहीं लगता है) तो इसमें "छेद" है। प्रत्येक 2 अपरिमेय संख्याओं के बीच एक परिमेय संख्या होती है!
अगर हम किसी फंक्शन को इंटीग्रेट करने की कोशिश करते हैं $(0,1) \cup (2,3)$ इसमें एक छेद भी है, लेकिन हम अभिन्न को दो में विभाजित कर सकते हैं: एक ओवर $(0,1)$ और दूसरा ओवर $(2,3)$। यदि हम अपने अभिन्न अंग में इसका उपयोग करने का प्रयास करते हैं$\mathbb I$ हमें मिलेगा:
$$\sum_{q \in \Bbb I} \int\limits_{x\in\{q\}} x \ dx$$
लेकिन हमें इसके साथ दो समस्याएं हैं:
सबसे पहले, यह अभिन्न एक बिंदु पर एक अभिन्न अंग है, और यह शून्य शून्य है। इसलिए यह आदर्श नहीं है क्योंकि इसका मतलब होगा कि किसी भी बेशुमार सेट का योग हमेशा शून्य होगा।
हम एक नियमित रूप से समन का उपयोग नहीं कर सकते क्योंकि फिर से, सेट $\Bbb I$ गिनने योग्य नहीं है।
इसलिए जहां हम इसे अभिन्न के साथ सामान्य करके नियमित रूप से समन से बचने की कोशिश कर रहे हैं, लेकिन फिर यह फिर से बाहर निकल जाता है!
इसलिए मेरा तीसरा और आखिरी सवाल यह है: भले ही मेरा सामान्यीकरण सही नहीं है, क्या इस अभिन्न का मूल्यांकन करना संभव है?
जवाब
इस तरह की संगीन अटकलें विभिन्न जवाब देती हैं जैसे कि $\Sigma$Z
= 0 + 1 + 2 - 1 + 3 - 1 + ...
= 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... + =$\infty$
= 0 - 1 - 2 + 1 - 3 + 2 - 4 + 3 - ...
= 0 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 ... = -$\infty$