अनिश्चित रूप के लिए प्राथमिक उदाहरण $1^\infty$

Question

मैं एक उज्ज्वल मध्य विद्यालयी के साथ गणित की बात कर रहा हूं, जिसने अभी तक कक्षा में लघुगणक भी नहीं देखा है। (हमने लॉग्स को एक्सप्रेशन के व्युत्क्रम के रूप में सफलतापूर्वक पेश किया है।) वह इस वीडियो और अनिश्चित रूपों से जुड़ी हुई है। हमने चर्चा की है कि "$1^\infty$"वास्तव में जैसा है"$0/0$”।

मैं अब एक उदाहरण पर चर्चा करना चाहूंगा "$1^\infty$"। दुर्भाग्य से, हर उदाहरण मैं साथ आ सकता हूं, और इंटरनेट पर मुझे जो कुछ भी मिलता है, वह उपयोग करता है$\frac{\ln(1+t)}{t}\to 1$ जैसा $t\to 0$, जो या तो " एक अच्छी तरह से ज्ञात तथ्य " है, या L'Hospital के नियम का एक आवेदन है - दोनों में मुझे असंतोषजनक लगता है।

क्या "के लिए एक गैर-तुच्छ उदाहरण है"$1^\infty$"अनिश्चित रूप (इसलिए, सिर्फ नहीं) $1^t$ के लिये $t\to\infty$) कि विश्लेषण किया जा सकता है लघुगणक की परिभाषा के रूप में प्रतिपादक के प्रतिलोम समारोह के रूप में, कलन या तथ्यों के बिना मुझे एक टोपी से बाहर खींचने की आवश्यकता होगी?

Answer 1

क्लासिक उदाहरण कौन भूल सकता है:

$\underset{n\to\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}$?

अगर हम विस्तार करते हैं $(1+\dfrac{1}{n})^{n}$ द्विपद प्रमेय के साथ और की इसी शक्तियों के साथ शर्तों की तुलना करें $1/n$ के विभिन्न मूल्यों के लिए $n$, हम पाते हैं कि यह फ़ंक्शन बढ़ता है $n$ बाउंड के बिना वृद्धि होती है, लेकिन कार्य अभिसारी श्रृंखला द्वारा बाध्य होता है

$1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dfrac{1}{3!}+...$

तो यह सीमा समाप्त हो जाने की गारंटी है और इस प्रकार निश्चित है $e$जिससे शासन $[\ln(1+x)]/x\to1$ जैसा $x\to 0$ इस प्रकार है।

Answer 2

सिर्फ ठीक क्यों नहीं करते $k>0$ (उदा $k=2$) और देखो $(k^{1/n})^n$?

यह बहुत स्पष्ट है कि सहज ज्ञान युक्त है $k^{1/n}=\sqrt[n]{k}\to 1$ जैसा $n\to\infty$; दूसरी ओर, स्पष्ट रूप से$n\to\infty$ कब अ $n\to\infty$। इस प्रकार, आपके पास मामला है$1^\infty$ जो वास्तव में अभिसरण करता है $k$ (और न केवल अभिसरण करने के लिए $k$लेकिन निरंतर है ), जिसे आपने शुरू करने के लिए मनमाने ढंग से चुना था।

अब इसके साथ विस्तार करना आसान है $(k^{1/n})^{n^2}=k^n$ या $(k^{1/{n^2}})^n=k^{1/n}$, जो करने के लिए अभिसरण $0$ तथा $\infty$ (कुछ क्रम में, जब तक $k\ne 1$) है।

Answer 3

हमारी मांग है कि $f,\,g$ साथ से $f\to1,\,g\to\infty$, साया स $x\to0$, ताकि $f^g$ किसी भी सीमा हो सकती है $L\in[0,\,\infty]$या कोई नहीं। उदाहरण:

• $f=e^{x^2},\,g=x^{-2}\ln L$ के लिये $L>1$
• $f=e^{-x^2},\,g=-x^{-2}\ln L$ के लिये $L\in(0,\,1)$
• $f=e^{x^4},\,g=x^{-2}$ के लिये $L=1$
• $f=e^{-x^2},\,g=x^{-4}$ के लिये $L=0$
• $f=e^{-x^4},\,g=x^{-2}$ के लिये $L=\infty$
• $f=e^{x^2\sin(1/x)},\,g=x^{-2}$ के लिये $\lim_{x\to0}f^g$ अपरिभाषित होना।

प्रतिस्थापन $(f,\,g)\mapsto(1/f,\,-g)$ दिखाता है $1^{-\infty}$ उसी तरह काम करता है, लेकिन हर कोई अलग से सूची नहीं देता है।