अंकगणितीय प्रगति क्रम, $\gcd(a,b)=1$

Question

मेरे पास अंकगणितीय प्रगति के बारे में यह प्रश्न है।

एक प्राकृतिक संख्या के लिए $k>1$, क्रम : $$1+L , 1+2L , 1+3L ,\dots, 1+KL$$

इसकी लंबाई है $K$

मुझे लेने की जरूरत है $L$ > 0 प्राकृतिक संख्या जो अनुक्रम में प्रत्येक संख्या को अपेक्षाकृत प्रमुख बनाती है।

तथा $a[i]-a[i-1]=d$ स्थिर

(अनुक्रम में किसी भी अन्य संख्या के साथ कोई आम भाजक नहीं $\gcd(a,b)=1$)

Answer 1

लश्कर $a_i = iL + 1$ के लिये $i = 1,\ldots K$।

किसी के लिए $i \ne j$, जाने दो $d = \gcd(a_i,a_j)$।

जबसे $d$ दोनों को विभाजित करता है $a_i$ तथा $a_j$, $d$ विभाजित $ia_j - ja_i = i-j$।

जबसे $1 \le i,j \le K$, हमारे पास है $1 \le |i-j| \le K-1$। इसका अर्थ है $$(i-j) | (K-1)!\quad\implies\quad d | (K-1)!$$

अगर हम चुनते हैं $L$ किसी भी एक से अधिक होना $(K-1)!$, फिर $d|L$। नतीजतन,

$$d | a_i\quad \iff\quad d |( iL + 1 ) \quad \implies \quad d | 1 \quad\implies\quad d = 1 $$

जबसे $i, j$ मनमाना है, इसका मतलब है जब भी $L$ का एक बहु है $(K-1)! {}^{\color{blue}{[1]}}$, सब $a_i, a_j$ जोड़ीदार एक दूसरे के सापेक्ष प्रमुख हैं।

ध्यान दें

• $\color{blue}{[1]}$ - यदि आप एक छोटा चाहते हैं $L$, आप प्रतिस्थापित कर सकते हैं $(K-1)!$ द्वारा ${\rm lcm}(1,2,\ldots,K-1)$ और वह भी काम करता है।