अंतराल की संख्या सीमित विभाजक के क्षण
मैंने पहले प्रश्न पूछा है कि एक छोटा विभाजन फ़ंक्शन योग जहां योग है$$ S_f(x)=\sum_{n\leq x} \min\{f(x),d(n)\}\quad (1) $$ रुचि का था, और यह संतोषजनक रूप से उत्तर दिया गया था।
यहां, मुझे निम्नलिखित मात्रा का अनुमान लगाने में दिलचस्पी है $$ S_a(x,m)=\sum_{n\leq x} \#\{d: d|n~\mathrm{and}~d\leq m\}^a $$ इसलिए विभाजक आकार में प्रतिबंधित हैं, या अंतराल तक ही सीमित हैं $[1,m]$ (1) के रूप में `` संख्या '' में नहीं।
कब $a=1,$ यह सीधा है (जहाँ तक मुख्य पद को प्राप्त करना है), क्योंकि योग का मूल्यांकन क्षैतिज रूप से किया जा सकता है $$ S_1(x,m)=\sum_{d\leq m} \lfloor x/d \rfloor=\left[\sum_{d\leq m} \frac{x}{d}\right]+O(m)=x \log m + O(m), $$ और आम तौर पर मुझे अपेक्षाकृत छोटे मूल्यों में दिलचस्पी होगी $m$ के अनुसार $x$।
व्हाट अबाउट $a\neq 1$? विशेष रूप से,$a=1/2,$ या $a=2,3,$ आदि कोई उन राशियों का अनुमान कैसे लगा सकता है?
जवाब
हमारा मानना है $m\leq x$। तुम्हारी$S_1(x,m)$ वास्तव में है, $x\log m + O(m)$।
इस उत्तर का एक अनुमान लगता है $S_2(x,m)$।
$$ \begin{align} S_2(x,m)&=\sum_{n\leq x} \left(\sum_{d|n, d\leq m} 1 \right)^2=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \sum_{n\leq x, [d_1,d_2]|n}1\\ &=\sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac x{[d_1,d_2]}+O(m^2), \end{align} $$ कहां है $[d,u]=\mathrm{lcm}(d,u)$।
पहले योग का अनुमान लगाने के लिए, आइए $[d_1,d_2]=d_1d_2/(d_1,d_2)$ कहां है $d=(d_1,d_2)=\mathrm{gcd}(d_1,d_2)$, हम लिखते हैं $d_1=dk$, $d_2=dl$ साथ से $(k,l)=1$। स्थापित करना$(k,l)=1$, हम पहचान का उपयोग करते हैं $\sum_{d|n}\mu(d) = \delta_1(n)$, कहां है $\delta_1(n)=1$ कब अ $n=1$, $0$अन्यथा। फिर$k=uv$, $l=uw$, ताकि $d_1=duv$, $d_2=duw$, $[d_1,d_2]=dkl=du^2vw$। फिर
$$ \begin{align} \sum_{d_1\leq m, d_2\leq m} \frac1{[d_1,d_2]}&= \sum_{duv\leq m, duw\leq m} \frac{\mu(u)}{du^2vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \sum_{v\leq m/du, w\leq m/du} \frac1{vw} \\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u} \frac{\mu(u)}{du^2} \left( \log^2(m/du) + O(\log m)\right)\\ &=\sum_{u\leq m}\sum_{d\leq m/u}\frac{\mu(u)}{du^2}\left(\log^2m-2\log m\log du+\log^2 du\right)\\ &=\frac1{\zeta(2)}\log^3 m-\frac1{\zeta(2)}\log^3m + \frac1{3\zeta(2)}\log^3m + O(\log^2m)\\ &=\frac1{3\zeta(2)}\log^3m+O(\log^2m)\\ &=\frac2{\pi^2}\log^3m + O(\log^2m). \end{align} $$ इसलिये, $$ S_2(x,m)=\frac{2x}{\pi^2}\log^3m + O(x\log^2m)+O(m^2). $$
हम प्राप्त करने में सक्षम हो सकते हैं $S_a(x,m)$उसी विधि से। लेकिन, परिणामस्वरूप रकम अधिक जटिल हैं।