अनुक्रम करता है $\{f_n\}$ में जुटे $L^1$?

Aug 18 2020

कार्यों के अनुक्रम पर विचार करें $f_n\in L^1(\Bbb R)$ द्वारा परिभाषित $f_n(x)=n\chi_{(0,1/n)}(x)$ के लिये $x\in\Bbb R$। अनुक्रम करता है$\{f_n\}$ में जुटे $L^1$?

प्रयास किया गया। मुझे लगता है कि यह नहीं है। मान लीजिए कि एक फ़ंक्शन मौजूद है$g\in L^1(\Bbb R)$ ऐसा है कि $f_n\to g$ में $L^1$। फिर मिन्कोवस्की असमानता से हमारे पास है$$0=\lim_{n\to\infty}\|f_n-g\|_1\geq \lim_{n\to\infty}|\|f_n\|_1-\|g\|_1|=\lim_{n\to\infty}|1-\|g\|_1|=1-\|g\|_1$$ इसका आशय है $\|g\|_1\geq 1.$ दूसरी ओर, $$0=\lim_{n\to\infty}\|f_n-g\|_1=\lim_{n\to\infty}\int_{\Bbb R}|f_n(x)-g(x)|dx.$$यहाँ, मुझे यकीन नहीं है कि हम लेब्सगेम डोमिनेटेड कन्वर्जेंस प्रमेय का उपयोग करने में सक्षम हैं। यदि हां, तो हम प्राप्त करते हैं$\|g\|_1=0$, अंतर्विरोध। इसके अलावा, यह देखना आसान है$f_n$शून्य फ़ंक्शन पॉइंटवाइज़ में कनवर्ट करता है। धन्यवाद!

जवाब

1 KaviRamaMurthy Aug 18 2020 at 13:25

सरल उत्तर: यदि यह अभिसरण करता है तो यह केवल शून्य फ़ंक्शन में परिवर्तित हो सकता है। इसका कारण है अभिसरण$L^{1}$ तात्पर्य एई अभिसरण एक परवर्ती के लिए और बिंदु-वार सीमा है $0$। अभी$\int |f_n-0|=1$ इसलिए $(f_n)$ में नहीं जुटता $L^{1}$