असममित आत्मीयता के बारे में एक प्रश्न और अनबिके साधनों के साथ सख्त उत्तलता
चलो $F:[0,\infty) \to [0,\infty)$ ए हो $C^1$ सख्ती से उत्तल समारोह।
चलो $\lambda_n \in [0,1],a_n\le c<b_n \in [0,\infty)$ संतुष्ट होना $$ \lambda_n a_n +(1-\lambda_n)b_n=c_n \tag{1}$$ और मान लीजिए $c_n \to ֿ\infty$। (जो ये दर्शाता हे$b_n \to ֿ\infty$) है। $c>0$ बस कुछ स्थिर है, बनाने के लिए $a_n$ बंधे हुए।
सेट $D_n=\lambda_nF(a_n)+(1-\lambda_n)F(b_n)-F\big(c_n\big) $, और मान लेते हैं कि $\lim_{n \to \infty}D_n=0$
प्रश्न: करता है$\lambda_n \to 0$?
मेरा अंतर्ज्ञान है कि भले ही $F$ जब "कम उत्तल" (करीब होने के लिए अनुकूल) हो जाता है $x \to \infty$, तब हम ज्यादा वजन नहीं डाल सकते $a_n$-इसके अलावा अन्यथा हम "उत्तलता अंतर" के बीच आ जाते हैं $a_n$ तथा $b_n$ एक गैर-नगण्य राशि से, जिसे बनाना चाहिए $D_n$ विशाल।
संपादित करें:
यह रॉन पी के जवाब को समझने की कोशिश है:
हमारे पास है $D(a_n,c_n,b_n)=\lambda_n F(a_n)+(1-\lambda_n)F( b_n)-F(c_n)$, कहां है $ \lambda_n a_n +(1-\lambda_n) b_n=c_n$।
इसी तरह, $D(a,c_n,b_n)=\tilde \lambda_n F(a)+(1-\tilde \lambda_n)F( b_n)-F(c_n)$, कहां है $ \tilde\lambda_n a +(1-\tilde \lambda_n) b_n=\tilde c_n$।
लगता है कि $a_n \to a$। (इसका अर्थ है$\lambda_n-\tilde \lambda_n \to 0$) है। हमारे पास है
$$D(a_n,c_n,b_n)-D(a,c_n,b_n)=\lambda_n F(a_n)-\tilde \lambda_n F(a)+(\tilde \lambda_n-\lambda_n)F(b_n). \tag{2}$$ पहला कार्यकाल तब से शून्य पर है $F(a_n) \to F(a)$ तथा $\lambda_n-\tilde \lambda_n \to 0$।
दूसरा कार्यकाल शून्य क्यों है? हमारा नियंत्रण नहीं है$F(b_n)$, सही?
जवाब
इसका जवाब है हाँ।
वास्तव में, rescaling द्वारा, सामान्यता के नुकसान के बिना (wlog) $c=1$। सूचनाओं को सरल बनाने के लिए, आइए$f:=F$, $a:=a_n$, $b:=b_n$, $c:=c_n$, $t:=\lambda_n$, $D:=D_n$। एक अनुगामी के लिए पासिंग, wlog$a\to a_*\in[0,1]$ तथा $t\to t_*\in(0,1]$। इसके अलावा, wlog$a+2\le c$, जबसे $a\le1$ तथा $c\to\infty$। इसके अलावा, wlog$b>c$, के बाद से $t>0$ तथा $c>a$।
की उत्तलता से $f$ और असमानताएं $a+1\le a+2\le c$, \ {{समीकरण *} f (a + 1) \ ge f (c) + \ frac {a + 1-c} {bc} \, (f (b) -f (c))। \ _ {टैग {1 शुरू करें। } \ end {समीकरण *} अब का उपयोग कर के उत्तलता$f$ फिर से असमानता के साथ $a+2\le c$ (1), हमारे पास है \begin{align*} 0\le d&:=\frac{f(a)+f(a+2)}2-f(a+1) \\ &\le \frac{f(a)}2+\frac12\,\frac{(c-a-2)f(a)+2f(c)}{c-a}-f(a+1) \\ &=\tilde d:=\frac{(c-a-1)f(a)+f(c)}{c-a}-f(a+1) \\ &\le\frac{(c-a-1)f(a)+f(c)+D}{c-a} \\ &\ \ -\Big(f(c)+\frac{a+1-c}{b-c}\,(f(b)-f(c))\Big) \\ &=\tilde D:=\frac{b-a-1}{b-a}\frac Dt\sim\frac D{t_*}\to0, \end{align*}ताकि \ _ {समीकरण *} d \ _0 शुरू हो। दूसरी ओर \ _ {टैग} {एंड} {समीकरण *} दूसरी ओर, \ _ {स्टार्ट {समीकरण *} d \ _ \ _ फ्राक {f (एक _ *) + एफ (एक _ * + 2)} 2-एफ (एक _ * + 1 )> 0 \ end {समीकरण *} के सख्त उत्तलता द्वारा$f$। यह विरोधाभास (2)।$\Box$
टिप्पणी: जैसा कि ऊपर से देखा गया है, हालत$c\to\infty$ आराम किया जा सकता है $\liminf(c-a)>0$।
उपरोक्त समाधान कुछ रहस्यमय लग सकता है। वास्तव में, विचार एक सरल ज्यामितीय है। किसी भी वास्तविक के लिए$A,B,C$ जैसे कि $A\le B\le C$, "लाभ" दें $g(A,B;C)$ उत्तल फ़ंक्शन के ग्राफ पर बिंदु के बीच की दूरी को निरूपित करें $f$ फरसा के साथ $C$ और जीवा पर एक ही फरसा के साथ बिंदु के ग्राफ पर अंक जोड़ने $f$ फरसा के साथ $A$ तथा $B$।
तो (नीचे दी गई तस्वीर देखें), $D=g(a,b;c)$ तथा $\tilde d=g(a,c;a+1)$, कहां है $\tilde d$उपर्युक्त मल्टी-लाइन डिस्प्ले में परिभाषित किया गया है। उस डिस्प्ले में, यह दिखाया गया था कि$\tilde d\le\tilde D$, जो तस्वीर से स्पष्ट है। इसके अलावा यदि$t$ से दूर है $0$ - वह है, अगर $c/b$ से दूर है $1$, फिर, जैसा कि इसी तरह के त्रिकोणों को देखकर चित्र से स्पष्ट है, हमारे पास है $\tilde D\asymp D\to0$; cf. उपरोक्त मल्टी-लाइन डिस्प्ले की अंतिम पंक्ति। यह और असमानता$\tilde d\le\tilde D$ मतलब $\tilde d\to0$।
की उत्तलता से $f$किसी भी निश्चित वास्तविक के लिए $A,C$ जैसे कि $A\le C$, लाभ $g(A,B;C)$ में बढ़ रहा है $B\in[C,\infty)$(यहां आप एक और चित्र बनाना चाह सकते हैं)। इसलिए और क्योंकि$a+2\le c$, अपने पास $d=g(a,a+2;a+1)\le g(a,c;a+1)=\tilde d$, ताकि $d\le\tilde d$, जो उपरोक्त मल्टी-लाइन डिस्प्ले की पहली तीन लाइनों में दिखाया गया था।
यह (1) और उपरोक्त मल्टी-लाइन डिस्प्ले की ज्यामितीय व्याख्या है।
पहले प्रश्न को सुधारते हैं। के लिये$0\leq a\leq c\leq b$, जाने दो $\lambda=\lambda(a,c,b)\in[0,1]$ संख्या ऐसी हो $c=\lambda a + (1-\lambda)b$, और के लिए $f\colon \mathbb R_+\to\mathbb R$ परिभाषित करना $$ D_f(a,c,b)= \lambda f(a)+(1-\lambda)f(b)-f(c). $$
लेम्मा 1. लेट$f\colon \mathbb R_+\to\mathbb R$सख्ती से उत्तल होना और लगातार अलग होना। चलो$0\leq a_n\leq c_n\leq b_n$ ऐसे अनुक्रम हो $a_n$ क्या घिरा हुआ है, $c_n-a_n$ 0 से दूर है, और $\limsup \lambda(a_n,c_n,b_n)>0$। फिर,$\limsup D_f(a_n,c_n,b_n)>0$।
हम सबसे पहले घटते कदमों का एक क्रम लागू करते हैं जो हमें इस बात का अनुमान लगाने की अनुमति देता है $a_n=0$, $c_n\geq 1$, , सबके लिए $n$, तथा $\liminf\lambda(a_n,c_n,b_n)>0$। यदि आपको विश्वास है कि यह संभव है, तो आप सीधे लेम्मा 5 को छोड़ सकते हैं।
उप-अनुक्रम लेने से $n'$ जिस पर $\liminf \lambda(a_{n'},c_{n'},b_{n'})>0$, लेम्मा 1 लेम्मा 2 से आता है।
लेम्मा 2. Let$f\colon \mathbb R_+\to\mathbb R$सख्ती से उत्तल होना और लगातार अलग होना। चलो$0\leq a_n\leq c_n\leq b_n$ ऐसे अनुक्रम हो $a_n$ क्या घिरा हुआ है, $c_n-a_n$ 0 से दूर है, और $\liminf \lambda(a_n,c_n,b_n)>0$। फिर,$\limsup D_f(a_n,c_n,b_n)>0$।
आगे उप-अनुक्रम लेते हुए $n'$ जिस पर दोनों $a_{n'}$ धर्मान्तरित, Lemma 2 Lemma 3 से अनुसरण करता है।
लेम्मा 3. लेट$f\colon \mathbb R_+\to\mathbb R$सख्ती से उत्तल होना और लगातार अलग होना। चलो$0\leq a_n\leq c_n\leq b_n$ ऐसे अनुक्रम हो $a_n\to a$, $c_n-a_n$ 0 से दूर है, और $\liminf \lambda(a_n,c_n,b_n)>0$। फिर,$\limsup D_f(a_n,c_n,b_n)>0$।
किसी निश्चित के लिए $\epsilon>0$कार्यों $\lambda(a,c,b)$ में निरंतर है $a$ समान रूप से $c$ तथा $b$ डोमेन पर $\epsilon\leq a +\epsilon\leq c\leq b$; इसलिए, लेम्मा 3 की मान्यताओं के तहत,$0<\liminf\lambda(a_n,c_n,b_n)=\liminf\lambda(\lim a_n,c_n,b_n)$। इसके अलावा, के लिए$\lim a_n <a<\liminf c_n$ बहुत छोटा है, हमारे पास है $\liminf\lambda(a,c_n,b_n)>0$। जबसे$D_f(a,c,b)$ में घट रहा है $a$, $\limsup D_f(a_n,c_n,b_n)\geq\limsup D_f(a,c_n,b_n)$। इसलिए, लेम्मा 3 लेम्मा 4 से निम्नानुसार है।
लेम्मा 4. आज्ञा देना$f\colon \mathbb R_+\to\mathbb R$सख्ती से उत्तल होना और लगातार अलग होना। चलो$0\leq a\leq c_n\leq b_n$ ऐसे अनुक्रम हो $c_n-a$ 0 से दूर है, और $\liminf \lambda(a,c_n,b_n)>0$। फिर,$\limsup D_f(a,c_n,b_n)>0$।
चलो $T\colon \mathbb R\to\mathbb R$ नक्शे में affine परिवर्तन हो $a$ सेवा $0$ तथा $\inf c_n$ सेवा $1$। फिर से बदलना$f$ द्वारा $F=f\circ T^{-1}$, तथा $a,c_n,b_n$ द्वारा $T(a),T(c_n),T(b_n)$ क्रमशः, लेम्मा 4 लेम्मा 5 से निम्नानुसार है।
लेम्मा 5. आज्ञा देना$F\colon \mathbb R_+\to\mathbb R$सख्ती से उत्तल होना और लगातार अलग होना। चलो$1\leq c_n\leq b_n$ ऐसे अनुक्रम हो $\liminf \lambda(0,c_n,b_n)>0$। फिर,$\limsup D_F(0,c_n,b_n)>0$।
लेम्मा 5. का सबूत हम wlog कि मान$F(0)=0$ और निरूपित करें $\lambda_n=\lambda(0,c_n,b_n)$ तथा $D_n=D_F(0,c_n,b_n)$।
एक फ़ंक्शन को परिभाषित करें $G\colon [1,\infty)\times (1,\infty)\to \mathbb R$ द्वारा $$ G(x,y)=\tfrac 1 y F(xy)-F(x). $$
दावा ६। $G$ दोनों में सकारात्मक और बढ़ती है $x$ तथा $y$।
दावे का प्रमाण 6. चूंकि$F$ सख्ती से उत्तल है, $F(0)=0$, तथा $x = 1/y(xy)+(1-1/y)0$, $G(xy)>0$। जबसे$F'$ बढ़ रहा है, हमारे पास है $\frac {d}{dx}G(xy)=F'(xy)-F'(x)>0$, इसलिए $G$ में बढ़ता है $x$। जबसे$F'$ बढ़ रहा है और $G(x,y)=1/y\int_0^yF'(xt)x\,dt - F(x)$, $G$ में बढ़ता है $y$, क्लेम 6 का प्रमाण पूरा करना।
मान लीजिए कि वहाँ है $\lambda_0>0$ ऐसा है कि $\lambda_n\geq \lambda_0$ सबके लिए $n$। फिर,$$ D_n = G(c_n,1/(1-\lambda_n))\geq G(1,1/(1-\lambda_0)>0, \quad\text{for all $एन$.} $$ QED