Atiyah-Macdonald के प्रस्ताव का प्रमाण 11.20
मैं 11.20 के प्रस्ताव के प्रमाण में बताए गए पोल ऑर्डर की असमानता की पुष्टि करने के लिए संघर्ष करता हूं। (पूर्ण विवरण और प्रस्ताव का प्रमाण यहां पाया जा सकता है: अतियाह-मैकडोनाल्ड 11.20 और 11.21 )
मेरा सवाल है: इस असमानता को कैसे साबित किया जाए?
मुझे पुस्तक के साथ विभिन्न मुद्दों को कवर करने वाले कई ऑनलाइन संसाधन मिलते हैं, लेकिन मुझे इस विशेष समस्या पर कुछ नहीं मिलता है। मुझे लगता है कि यह फायदेमंद होगा कि इसका कुछ संदर्भ भी उपलब्ध कराया जाता है, क्योंकि इस पुस्तक से विषय जानने की कोशिश करने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए एक व्यावहारिक उत्तर उपयोगी हो सकता है।
यदि यह ब्याज की है, तो मैंने निम्नलिखित अतिरिक्त धारणाओं पर अपने स्वयं के प्रयास किए हैं:
- $d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$ अन्य के रूप में पोल आदेश का उल्लेख करना चाहिए $d$ (विशिष्ट बहुपद की डिग्री) केवल स्थानीय छल्ले के लिए परिभाषित किया गया है।
- इस वलय की श्रेणीबद्ध संरचना है $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$, कहाँ पे $\bigoplus A_n$ की मानक ग्रेडिंग है $(A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]$।
संपादित करें: मुझे लगता है कि समस्या काफी हद तक स्पष्ट नहीं है जब तक कि कोई पुस्तक में काफी गहरा नहीं है, इसलिए मैं अध्याय 11 तक (11.20) में पाए जाने वाले प्रासंगिक परिणामों का एक संक्षिप्त सारांश प्रदान करूंगा: एक नोथेरियन ग्रेडेड रिंग के लिए$A$ एक के रूप में उत्पन्न $A_0$-बैलब्रिज बाय $s$ डिग्री 1, प्रमेय (11.1) के सजातीय तत्वों का कहना है कि पोइनकेरे श्रृंखला $P(M,t) = \sum^\infty_{n=0}\lambda(M_n)t^n$ किसी भी वित्तपोषित श्रेणी में वर्गीकृत किया गया $A$-मापांक $M$ आदेश की एक पोल है $d(M)\leq s$ पर $t=1$। यह एक ऊपरी सीमा देता है$d(A)$ जब लेने $M=A$। (11.20) में असमानता, तथापि, एक परिचय कम बाध्य के लिए$d((A/\mathfrak{q})[t_1,...,t_d]/(\bar{f}))$। ध्रुव क्रम का एक निचला भाग पहले पाठ में केवल एक समानता के रूप में होता है, अर्थात् बहुत विशेष मामले में कि श्रेणीबद्ध अंगूठी संबंधित श्रेणीबद्ध अंगूठी है$G_\mathfrak{q}(A)$ Noetherian स्थानीय रिंग का $A$wrt। एक$\mathfrak{m}$-प्रतिम आदर्श $\mathfrak{q}$ [के पोल आदेश $G_\mathfrak{q}(A)$ इस मामले में मंद के बराबर है $A$]। इसलिए कठिनाई ध्रुव क्रम की निचली सीमा निर्धारित करने के लिए परिणामों की कमी में निहित है।
जवाब
लश्कर $\bigoplus A_n$ की मानक ग्रेडिंग हो $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]$। वर्गीकृत छल्लों की समरूपता$\bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ विशेषण है और कर्नेल है $(\bar{f})$, इसलिये $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}$ की ग्रेडिंग है $(A/\mathfrak{q})[t_1,\dots,t_d]/(\bar{f})$। $\alpha$ नक्शा तैयार करता है $\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ जबसे $(\bar{f}) \subseteq \textrm{Ker}(\alpha)$, और इसलिए हम वर्गीकृत छल्लों के निम्नलिखित विशेषण समरूपता प्राप्त करते हैं: $$ \bigoplus A_n \to \bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s} \to \bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}. $$ ध्यान दें कि $A_n/\bar{f}A_{n-s}$ तथा $\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ कर रहे हैं $A/\mathfrak{q}$सभी के लिए -Modules $n$ (यह मानते हुए $s > 0$), और इसलिए परिमित लंबाई होनी चाहिए $A/\mathfrak{q}$आर्टिन है। जबसे$\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}$ की समरूप छवि है $A_n/\bar{f}A_{n-s}$, हमारे पास वह भी है $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$। अंत में उस के बाद से निरीक्षण करते हैं$\bigoplus A_n$ एक के रूप में उत्पन्न होता है $A/\mathfrak{q}$-बैलब्रिज बाय $t_1,\dots,t_d$, दो अन्य वलय इनकी संबंधित छवियों द्वारा उत्पन्न होते हैं। जैसा कि ये चित्र सभी डिग्री 1 के सजातीय हैं, हम सभी बड़े के लिए (11.2) से प्राप्त करते हैं$n$, $l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1})$ एक बहुपद है $g(n)$ की डिग्री $d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) - 1$ तथा $l(A_n/\bar{f}A_{n-s})$ एक बहुपद है $h(n)$ की डिग्री $d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) - 1$। अब कब से$$g(n) = l(\mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) \leq l(A_n/\bar{f}A_{n-s}) = h(n)$$ सभी बड़े के लिए $n$, हमारे पास वह होना चाहिए $\deg g(n) \leq \deg h(n)$, इस प्रकार $$ d(\bigoplus \mathfrak{q}^n/\mathfrak{q}^{n+1}) = \deg g(n) + 1 \leq \deg h(n) + 1 = d(\bigoplus A_n/\bar{f}A_{n-s}) $$ जो असमानता को साबित करता है।