अतुल्य द्रव सन्निकटन और द्रव बनाम ध्वनि वेग
निम्नलिखित मामले पर विचार करें: पानी की एक स्थिर द्रव्यमान दर के साथ एक सीधी ट्यूब $\dot m_{in}=\dot m_{out}$ , और इसमें एक रैखिक शक्ति के साथ प्रवेश कर रहा है $\dot Q [\frac W m]$। और पानी सभी ट्यूब में तरल चरण है।
मेरे प्रोफेसर ने हमें बताया कि इस मामले में अयोग्य तरल पदार्थ एक अच्छा सन्निकटन है यदि पानी का वेग ध्वनि के वेग से बहुत कम है। क्या आप मुझे समझा सकते हैं कि यह एक अच्छा मापदंड क्यों होना चाहिए? विशेष रूप से मुझे क्या भ्रमित करता है कि तापमान क्षेत्र के आधार पर घनत्व में परिवर्तन होना चाहिए।
जवाब
यह वेग पर निर्भर करता है।
विशेष रूप से मुझे क्या भ्रमित करता है कि तापमान क्षेत्र के आधार पर घनत्व में परिवर्तन होना चाहिए।
आपने कहा कि पानी ट्यूब की लंबाई के साथ तरल रहता है, और यदि आपने 32 से 90 डिग्री सेल्सियस की सीमा में वायुमंडलीय दबाव पर पानी के गुणों की तालिका पर एक नज़र डाली, तो घनत्व में परिवर्तन लगभग 3% होगा, इस प्रकार शायद ही संपीड़ित।
प्रवाह की अचूकता की गणितीय परिभाषा यह है कि वेग वेक्टर का विचलन शून्य है: $$ \nabla.\vec{V}= \frac{\partial u_i}{\partial x_i}=0 $$
लेकिन यह परिभाषा किसी तरह भ्रामक हो सकती है, उदाहरण के लिए कमरे के तापमान पर पानी के लिए घनत्व की भिन्नता नगण्य है, जैसा कि हमारे पिछले उदाहरण में है। लेकिन अगर आपने ध्वनि की सामग्री-विशिष्ट गति के करीब वेग पर समान पानी पंप किया है, तो प्रवाह अब संपीड़ित है।
तो, एक प्रवाह को संपीड़ित कहा जाता है यदि इसकी गति इसकी ध्वनि गति या इसकी मच संख्या का लगभग 30% है $\text{Ma}_{crit} \ge 0.3$।
20 डिग्री सेल्सियस पर ध्वनि की जल गति लगभग होती है $1,480$ एम / एस, और इसी वेग पर $\text{Ma} = 0.3$ है $v = 444$ m / s, जो पानी के जेट का उपयोग करके हासिल करना मुश्किल नहीं है।
इसलिए, आपकी समस्या में आप उन वेगों की सीमा की गणना कर सकते हैं जो आपके पास हो सकते हैं, और तुलना कर सकते हैं $\text{Ma}_{crit}$यह जांचने के लिए कि क्या आपका द्रव प्रवाह संपीड़ित या असंगत है।
नोट: यह उत्तर कम्प्यूटेशनल तरल गतिकी में अतुलनीय सन्निकटन पर रोड्रिगेज चर्चा पर आधारित है, जिसकी अत्यधिक अनुशंसा की जाती है।
सवाल दो अलग अवधारणाओं को भ्रमित करता है। एक अतुलनीय प्रवाह का विचार है, और दूसरा निरंतर घनत्व प्रवाह है।
प्रोफेसर एक ऐसी कसौटी का जिक्र कर रहे हैं, जो आपको बिना गर्मी जोड़ के असंगत प्रवाह समीकरणों का उपयोग करने की अनुमति देती है। जब आप न्यूटन के दूसरे कानून, बड़े पैमाने पर संरक्षण और राज्य के समीकरण का उपयोग करके अधिक सामान्य प्रवाह समीकरणों को प्राप्त करते हैं, तो आप पाते हैं कि ध्वनि की स्थानीय गति से विभाजित द्रव वेग के रूप में परिभाषित मैक नंबर, एम नामक एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है। इससे भी अधिक, M, M ^ 2 के रूप में प्रकट होता है, और बाद वाला अक्सर (1 - M ^ 2) जैसे शब्दों में दिखाई देता है। जब आप इन समीकरणों का अध्ययन करते हैं, तो आप पाते हैं कि यदि आप एकता की तुलना में एम ^ 2 की उपेक्षा करते हैं, तो आप पाते हैं कि घनत्व में कोई भिन्नता नहीं हो सकती है। इस प्रकार, यदि M ^ 2 << 1 है, तो आप बिना हीट एडिशन के असंगत प्रवाह समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं। व्यावहारिक रूप से इसका मतलब है प्रवाह के लिए जहां लगभग M ^ 2 <0.1, या M <0.3 है।
गर्मी जोड़ के साथ, आपको ऊर्जा समीकरण के ऊपर उल्लिखित सिद्धांतों के अतिरिक्त आह्वान करना होगा। ये बहुत अधिक जटिल सेट हैं, और यह अक्सर कम सटीक, लेकिन बहुत उपयोगी सरलीकरणों के लिए देखने के लिए फायदेमंद है, जब तक कि यह स्पष्ट नहीं है कि घनत्व में परिवर्तन - जो भी कारण से - प्रवाह की महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं।