अवैध बर्गर का समीकरण: आघात [डुप्लिकेट]

Question

बर्गर के समीकरण को हल करें $$ \left\{\begin{aligned} u_{t}+uu_x &=0 \quad \text { for } \quad t>0 \\ u(x, 0) &=u_{0}(x) \end{aligned}\right. $$ साथ से $u=u(x,t)$ और साइड कंडीशन $u(x,0)=-x$।

मुझे पता है कि प्रारंभिक स्थिति u = x के साथ एक समान प्रश्न पहले पूछा गया है, और यह इसलिए पूछा क्योंकि मैं सोच रहा था कि क्या विशेषता होगी जब अभिसरण करने के लिए सेट हैं।

Answer 1

अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय से हमारे पास निम्नलिखित हैं

$$u_t+uu_x = 0 \implies \frac{dx}{dt}=u$$

तो दूसरे शब्दों में, विशेषताओं का ढलान मूल्य पर निर्भर करता है $u$। साथ में$u=x$, आप देख सकते हैं कि विशेषताएँ जो नकारात्मक पर शुरू होती हैं $x$ सकारात्मक के लिए बाएं (नकारात्मक ढलान) और इसके विपरीत ले जाएं $x$। क्या आप व्यवहार के कारण बता सकते हैं$u=-x$ बजाय?

बोनस प्रश्न, तकनीकी रूप से दोनों स्थितियों में झटका कुछ भी चुना जा सकता है, लेकिन दोनों के लिए अधिकतम एन्ट्रोपी समाधान कैसे निकाला जा सकता है $u=x$ तथा $u=-x$ ?