अवशिष्ट परिमित समूहों के एपिमोर्फिज्म की अनुक्रम स्थिर हो जाती है
लश्कर $G_1 \to G_2 \to \cdots$सूक्ष्मता से उत्पन्न अवशिष्ट समूहों के परिमाणों के अनुक्रम का होना। क्या यह अंततः स्थिर होता है? यही है, वास्तव में isomorphism है, लेकिन सभी बहुत कुछ epimorphism हैं?
ध्यान दें कि मूल रूप से उत्पन्न होने वाले परिमित समूह हॉपफियन हैं, इसलिए यह प्रत्येक के सरल प्रतिसाद को बाहर करता है $G_i$ एक निश्चित समूह होने के नाते और प्रत्येक एपिफॉर्फ़िज्म अपने आप में एक निश्चित होता है।
समरूप परिणाम तब होता है जब समूह अवशिष्ट रूप से मुक्त होते हैं: यह चार्परियर गुइरार्डेल में प्रस्ताव 6.8 है "सीमा समूहों को मुक्त समूहों की सीमा के रूप में" । प्रमाण केवल इस तथ्य का उपयोग करता है कि मूल रूप से मुक्त समूह अवशिष्ट हैं$SL_2(\mathbb{C})$, और ऐसा लगता है कि यह उस मामले के लिए अनुकूलित किया जा सकता है जहां प्रत्येक $G_i$ अवशिष्ट है $GL_n(\mathbb{C})$ एक निश्चित के लिए $n$। ऐसा लगता नहीं है कि यह सामान्य रेजिड्यूली परिमित समूहों के लिए है: जॉर्डन-शूर प्रमेय का तात्पर्य है कि सामान्य परिमित समूह के लिए न्यूनतम डिग्री$n$ इस तरह कि यह एम्बेड करता है $GL_n(\mathbb{C})$ मनमाने ढंग से बड़ी हो सकती है।
क्या सबूत को अनुकूलित करने का एक और तरीका है? क्या कोई प्रतिघात है?
जवाब
जवाब न है"। लैम्पप्लेयर समूह (जो असीम रूप से प्रस्तुत किया गया है) वस्तुतः मुक्त समूहों और विशेषण समरूपता के अनुक्रम की एक सीमा है (उदाहरण के लिए, यह प्रश्न और वहां उत्तर )। लगभग सभी मुक्त समूह अवशिष्ट रूप से परिमित हैं।
डोड के जवाब के रूप में एक ही नस में, एक काउंटरएक्सप्लिमेंट को दूसरे हॉटन समूह से भी काट लिया जा सकता है $H_2$, जिसे जीवों के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है $L^{(0)} \to L^{(0)}$ द्वि-अनंत रेखा में कोने के सभी लेकिन बारीक जोड़े के लिए आसन्न और गैर-आसन्नता को संरक्षित करता है $L$। की एक प्रस्तुति$H_2$ है $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle$$ कहां है $t$ एक इकाई अनुवाद से मेल खाती है और $\sigma_i$ क्रमपरिवर्तन के लिए $(i,i+1)$। अब, प्रस्तुति को काटें और परिभाषित करें$G_n$ के जरिए $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ n \geq |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle.$$ संबंधों का उपयोग करके $t\sigma_it^{-1}=\sigma_{i+1}$ जनरेटर को हटाने के लिए $\sigma_0,\sigma_{-1},\ldots$ तथा $\sigma_{n+2},\sigma_{n+3},\ldots$, हम निम्नलिखित प्रस्तुति पाते हैं $G_n$: $$\left\langle \sigma_1, \ldots, \sigma_{n+1}, t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ 1 \leq i \leq n} \right. \right\rangle.$$ इस प्रस्तुति से देखें कि $G_n$ के HNN विस्तार के रूप में विघटित होता है $$\left\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_{n+1} \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \right. \right\rangle,$$ जो सममित समूह के लिए आइसोमोर्फिक निकला $\mathfrak{S}_{n+2}$, जहां स्थिर अक्षर संयुग्मित होता है $\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_n \rangle$ सेवा मेरे $\langle \sigma_2, \ldots, \sigma_{n+1} \rangle$। इस प्रकार, एक परिमित समूह के HNN विस्तार के रूप में,$G_n$ लगभग मुक्त होना चाहिए।
निष्कर्ष यह है कि विहित उद्धरण नक्शे $G_1 \twoheadrightarrow G_2 \twoheadrightarrow \cdots$ लगभग मुक्त समूहों के बीच एपिमोर्फिज्म के एक क्रम को परिभाषित करता है जो स्थिर नहीं होता है।
टिप्पणी: उपरोक्त तर्क को लैम्प्लायर समूह के साथ लगभग शब्द के लिए पुन : प्रस्तुत करना$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ हॉटन समूह के बजाय $H_2$वही निष्कर्ष प्रदान करता है। कारण यह है कि इन समूहों में एक समान संरचना है: वे फॉर्म के हैं$C \rtimes \mathbb{Z}$ कुछ स्थानीय रूप से सीमित कोक्सटर समूह के लिए $C$ कहां है $\mathbb{Z}$ पर कार्य करता है $C$ ग्राफ परिभाषित करने के एक सममिति के माध्यम से $C$। (धीरे-धीरे बोलते हुए, इस फॉर्म के अन्य सभी समूहों से बरामद किया जा सकता है$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ तथा $H_2$, इसलिए इस दिशा में कोई अन्य दिलचस्प उदाहरण नहीं है।)