बेरी चरण के रूप में गैर-एबेलियन अहरोनोव-बोहम प्रभाव को प्राप्त करना

Aug 17 2020

मैं गैर-एबेलियन गेज क्षेत्र के मामले में माइकल बेरी की व्युत्पत्ति को सामान्य करके गैर-एबेलियन अहरोनोव-बोहम प्रभाव प्राप्त करने की कोशिश कर रहा हूं$A$

मेरी अब तक की व्युत्पत्ति

हमें एक गैर-एबेलियन बेरी चरण को प्राप्त करने के लिए अध: पतन की आवश्यकता है $\mathcal{H} = \mathcal{H}_\text{spatial} \otimes \mathcal{H}_\text{internal}$, कहाँ पे $\mathrm{dim}(\mathcal{H}_\text{internal})=N$। तरंग-रूप धारण करेंगे

$$\Psi(x,t) = \psi(x,t) \mathbf{v} ,$$

कहाँ पे $\psi(x,t) $ स्थानिक तरंग है और $\mathbf{v} $सिस्टम की आंतरिक स्थिति वेक्टर है। अब मैं अपने हैमिल्टन को ले जाता हूं

$$ H(X) = - \frac{1}{2m } (\nabla \mathbb{I} - ie A)^2 + V(X-x)\mathbb{I}$$

कहाँ पे $V(X-x)$ एक सीमित क्षमता है जो हमारे कण को ​​स्थिति में केंद्रित एक छोटे से बॉक्स के अंदर फंसा देती है $X$, $A$ हमारे गेज क्षेत्र और है $\mathbb{I}$ पर पहचान है $\mathcal{H}_\text{internal}$। यह हैमिल्टन बेरी की व्युत्पत्ति में इस्तेमाल किए गए हैमिल्टन के लिए लगभग समान है, सिवाय इसके कि मैंने इसे एक ऑपरेटर पर अपग्रेड किया है$\mathcal{H}$ अनुमति द्वारा $H$ आंतरिक सूचकांक भी है और अनुमति है $A$ नॉन-एबेलियन गेज फील्ड होना।

बेरी के पेपर के परिणाम को सामान्य करना, द $N$ ऊर्जा के साथ हैमिल्टन के स्वदेशी $E$ जिस क्षेत्र में वक्रता हो $A$ द्वारा गायब कर दिया जाता है

$$ \Psi_j(X;x,t) =P \exp \left( - i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) \psi_E(X;x,t) e_j $$ कहाँ पे $P$ पथ क्रम के लिए खड़ा है, $\psi_E$ ऊर्जा के साथ स्थानिक तरंग है $E$ तथा $e_j$ के आधार वैक्टर हैं $\mathcal{H}_\text{internal}$। यह अंतर ऑपरेटर के रूप में दिखाना आसान है$\nabla$ केवल स्वतंत्रता की स्थानिक डिग्री पर कार्य करता है, इसलिए हमारे पास प्रत्येक आधार वेक्टर के लिए एक स्वदेशी है $\mathbf{e}_j$और इसलिए एक गैर-एबेलियन बेरी कनेक्शन के लिए हमारी वांछित पतनशीलता आवश्यक है। कारसेपिंग बेरी कनेक्शन द्वारा दिया जाता है

$$ [\mathcal{A}_\mu]_{ij}(X) = i\langle \Psi_i(X) | \frac{\partial}{\partial X^\mu} | \Psi_j(X) \rangle \\ = i\int \mathrm{d}^n x e_i^\dagger \bar{P} \exp \left( i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) (iA_\mu) P \exp \left( - i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) e_j \psi_E^*(X;x,t) \psi_E(X;x,t)$$

कहाँ पे $\bar{P}$एंटी-पाथ ऑर्डरिंग ऑपरेटर है, जो हर्मिटियन कंजुगेट लेने के कारण है। एबेलियन गेज क्षेत्र के मामले के लिए$A$, एक्सपोनेंशियल सब कुछ पिछले करेंगे और बेरी कनेक्शन कम हो जाएगा $\mathcal{A} \propto A$, हालांकि मुझे नहीं पता कि गैर-एबेलियन कनेक्शन के मामले के लिए इसका मूल्यांकन कैसे करें।

मेरी समस्या

कई स्रोतों से पता चलता है कि गैर-एबेलियन अहरोनोव-बोहम प्रभाव गेज क्षेत्र की एक विल्सन रेखा उत्पन्न करेगा,

$$ U = P \exp \left( -i \oint_C A \cdot \mathrm{d} l \right) $$उदाहरण के लिए यह और यह , जो मुझे बताता है कि बेरी कनेक्शन गेज क्षेत्र के लिए आनुपातिक है, अर्थात$\mathcal{A} \propto A$हालाँकि, मेरी व्युत्पत्ति से मैं ऊपर अंतिम पंक्ति पर अटक जाता हूँ जहाँ मुझे मूल्यांकन करने की आवश्यकता होती है

$$ \bar{P} \exp \left( i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right) A_\mu P \exp \left( - i \int_X^x A \cdot \mathrm{d} l \right)=? $$

क्या पथ के लिए सामान्यीकृत बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ फार्मूले के कुछ प्रकार के घातीय घातांक हैं, जैसे कि कुछ $e^X Y e^{-X} = Y + [X,Y] + \frac{1}{2} [X,[X,Y]] + \ldots $?

जवाब

3 mikestone Aug 17 2020 at 20:50

यदि आप फ्लक्स को घेरते हुए एक लूप पर जाते हैं तो वेवफंक्शन एकल मूल्य नहीं है। मैं गति के एक कण पर एबेलियन बीए प्रभाव के लिए उस समाधान नहीं लगता है$k$ एक विच्छेदन बंद बिखराव
$$ \psi(r,\theta)= \sum_{l=-\infty}^{\infty} e^{il \theta -(\pi/2)(l-\alpha)}J_{|l-\alpha|}(kr) $$ अपने रूप में फैक्टर किया जा सकता है, लेकिन मैं गलत हूं।

आह - मैं देख रहा हूँ कि तुम क्या कर रहे हो। आप गैर-एबेलियन स्कैटिग समस्या का समाधान नहीं कर रहे हैं जो पीटर होर्वैथी करता है। आप एक छोटे से बॉक्स में केवल एक कण के लिए रुचि रखते हैं जो कि फ्लक्स के चारों ओर ले जाता है जैसा कि मिशाल बेरी करता है। तो आप पूर्ण बिखरने वाले समाधान नहीं प्राप्त कर सकते हैं। जैसा कि बेरी कहते हैं, उनका समाधान एकल में मूल्यवान है${\bf r}$ लेकिन केवल स्थानीय रूप से ${\bf R}$

बस एक जुड़े हुए क्षेत्र में हम लिख सकते हैं $A_\mu(x) = U^\dagger(x)\partial_{x^\mu} U(x)$ और जैसे $(\partial_\mu+A)U^{-1} \psi= U^{-1} \partial_\mu\psi$ हम देखते हैं कि हम लिख सकते हैं $\psi(x)= U^{-1}(x)\psi_0(x-X)$ कण बॉक्स के लिए केंद्रित है $X$ और कहाँ $\psi_0$शून्य गेज क्षेत्र तरंग है। वेवफंक्शन की इस पसंद के साथ बेरी कनेक्शन शून्य है क्योंकि वेवफंक्शन हमेशा वही होता है जो वह उस बिंदु पर होना चाहता है। इसे एडियाबेटिक बेरी परिवहन की आवश्यकता नहीं है। एक गैर-शून्य कनेक्शन प्राप्त करने के लिए हम अपनी तरंग को पुनर्परिभाषित कर सकते हैं ताकि प्रत्येक बॉक्स में तरंग बिल्कुल समान दिखे। ऐसा करने के लिए हम प्रतिस्थापित करते हैं$\psi(x)$ साथ में $U^{-1}(x) U(X)\psi_0$ ताकि केंद्र में $x=X$ प्रत्येक बॉक्स नई तरंग $\psi(X)=\psi_0(X)$ स्वतंत्र रूप से स्थिति के समान है $X$बॉक्स का। अब आपकी गणना सीधे देती है${\mathcal A}_\mu(X) = U^{-1}(X)\partial_{X^\mu} U(X)$

यहाँ विवरण हैं। बॉक्स में वेवफंक्शन होने दें$$ U^{-1}(x) U(X)\psi_0(x-X)\stackrel{\rm def}{=} \langle x |0,X\rangle $$ कहाँ पे $\psi_0$सामान्यीकृत है। फिर बेरी कनेक्शन है$$ \langle 0,X|\partial_{X^\mu}|0,X\rangle = \int dx \psi_0^\dagger(x-X) U^{\dagger}(X) U(x) \partial_{X^\mu}\Big( U^{-1}(x)U(X) \psi_0(x-X)\Big)\\ =\int dx \psi_0^\dagger(x-X) U^{\dagger}(X) \partial_{X^\mu}\Big(U(X) \psi_0(x-X)\Big) $$ मूल्यांकन करने के लिए दो शब्द हैं: एक जहां व्युत्पन्न हिट $U(X)$ और एक जहां यह हिट है $\psi_0(x-X)$। पहला है$$ \int dx \psi_0^\dagger(x-X) \partial_{X^\mu} \psi_0(x-X)= - \int dx \psi_0^\dagger(x-X) \partial_{x^\mu} \psi_0(x-X)\\ = \frac 12 \int dx \partial_{x^\mu}|\psi|^2\\ =0 $$ क्योंकि आपने निर्धारित किया है $\psi_{0,i} = v_i \psi_0$ कहाँ पे $v_i$ यह जटिल-सदिश आयाम है $U$ और पर काम करता है $\psi$एक बाध्य राज्य होने के नाते, वास्तविक है और बॉक्स की सीमा पर गायब हो जाता है। दूसरा है$$ U^{-1}(X)\partial_{X_\mu} U(X) \int dx |\psi_0|^2\\ = U^{-1}(X)\partial_{X_\mu} U(X)=A_\mu(X). $$ इसलिए बेरी कनेक्शन सिर्फ बॉक्स के केंद्र में मूल्यांकन किए गए गेज क्षेत्र है।