भागफल टोपोलॉजी का कुछ उदाहरण दें? [बंद किया हुआ]

Question

Quotient टोपोलॉजी के कुछ आसान उदाहरण दें?

मेरा प्रयास : मुझे यहां कुछ उदाहरण मिला है, लेकिन उदाहरण को समझने में कठिनाइयों का सामना करना पड़ रहा है

मुझे कुछ ऐसे उदाहरण चाहिए जो समझने में आसान हों

मुझे इसकी परिभाषा पता है

भावुक टोपोलॉजी : चलो$X$ एक सामयिक स्थान हो और $~$ पर एक समानता का संबंध $X$। हर एक के लिए$x \in X$ , द्वारा निरूपित करें $[x]$ इसका समतुल्य वर्ग। भागफल का स्थान $X$ modulo $ \sim$ सेट द्वारा दिया गया है

$X/\sim~ =\{[x] : x \in X \}$

हमारे पास प्रक्षेपण मानचित्र है $p: X \to /\sim ,x \to [x]$ और हम बराबर हैं $X/\sim$ टोपोलॉजी द्वारा

$U\subseteq$ $X/ \sim~$ अगर और केवल अगर खुला है $p^{-1}(u)$ का एक खुला सबसेट है $X$

Answer 1

यहाँ एक अच्छा उदाहरण है: कॉम्पैक्ट अंतराल के साथ शुरू करें $[0,1]$। "(टॉपोलॉजिकल) सर्कल प्राप्त करने के लिए" समापन बिंदु पहचानें "। इसका मतलब है कि आपका समतुल्य संबंध है$x \sim y$ या तो $x=y$ वरना $\{x,y\} = \{0,1\}$।

अन्य सामान्य एक वर्ग के साथ शुरू होते हैं $[0,1] \times [0,1]$और सीमाओं की पहचान कुछ खास तरीकों से होती है। इस बात पर निर्भर करता है कि आप सीमा के बिंदुओं की पहचान कैसे करते हैं, आप एक (टोपोलॉजिकल) क्षेत्र, एक सिलेंडर, एक मोबीस बैंड, एक टोरस, क्लेन बोतल, या अन्य चीजें प्राप्त कर सकते हैं।