भिन्नात्मक असमानताओं पर प्रश्न
$a,b$सकारात्मक पूर्णांक हैं। चलो$\frac{a}{b}$ सबसे छोटे संभव भाजक के साथ अंश हो $b$ ऐसा है कि $\frac{386}{2019}$ < $\frac{a}{b}$ < $\frac{35}{183}$। का मान निर्धारित करते हैं$a+b$।
मैंने असमानता को सरल बनाने की कोशिश की है, लेकिन मैं फंस गया हूं। हालाँकि, मुझे पता है कि के रूप में$b$ सबसे छोटा है, इसलिए करता है $a$।
किसी भी विचार मैं इस सवाल को कैसे करना चाहिए? किसी भी मदद के लिए धन्यवाद।
जवाब
शायद निम्नलिखित मदद करेगा।
हमारे पास है $$386b+1\leq2019a$$ तथा $$35b\geq183a+1.$$ हम समीकरण हल कर सकते हैं $35b=183a+1,$ जो देता है $$(a,b)=(13+35k,68+183k),$$ कहां है $k\geq0$ एक पूर्णांक है, जो एक अंश देता है $\frac{13}{68}.$
यह देखना आसान है $\frac{13}{68}$ मान्य नहीं है।
अब, हम ले सकते हैं $k=1$, $k=2$, ...
साथ ही, हम समीकरण को हल कर सकते हैं $386b+1=2019a,$ जो देता है $$(a,b)=(373+386k,1951+2019k),$$ कहां है $k\geq0$ पूर्णांक है।
यह देखना आसान है $\frac{373}{1951}$ यह सही है।
मुझे वह पहले मामले में मिला $k=1$ मान्य है, जो देता है $\frac{48}{251}.$
क्रमागत भिन्न के$386/2019$ है $[0; 5, 4, 2, 1, 29]$।
क्रमागत भिन्न के$35/183$ है $[0; 5, 4, 2, 1, 2]$।
तो इन नंबरों के बीच सख्ती से निहित सबसे सरल अंश जारी रखा है $$[0; 5, 4, 2, 1, 3]=\dfrac{48}{251}$$