बिंदु से खींची गई दो स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए $(0, -2)$ वक्र करने के लिए $y=x^2$

Aug 16 2020

बिंदु से खींची गई दो स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण ज्ञात कीजिए $(0, -2)$ वक्र करने के लिए $y=x^2$

यह मेरा प्रयास है:
चलो$P(\alpha, \beta)$ वक्र पर एक बिंदु हो। $$\therefore \beta = \alpha^2$$ $$\frac{dy}{dx}\quad \text{at}\quad P(\alpha,\beta) = 2\alpha$$ P पर स्पर्शरेखा का समीकरण: $2\alpha x-y=2\alpha^2-\beta \Rightarrow2\alpha x-y = 2\alpha^2 -\alpha^2$ $$\Rightarrow2\alpha x -y -\alpha^2 =0$$ ए / क्यू $(0, -2)$ इस समीकरण को बैठाना चाहिए। $\therefore 2\alpha\times0 - (-2) - \alpha^2 = 0\Rightarrow\alpha^2=2$ $$\therefore\alpha=\pm\sqrt2$$ $$\Rightarrow\beta=2$$ अब इन मूल्यों को ढलान खोजने के लिए डाल रहा है$(m)=\frac{dy}{dx}=2\times\pm\sqrt2$ $$\therefore m = +2\sqrt2\quad and\quad -2\sqrt2$$ हम जानते हैं कि के लिए $\theta$= लाइनों और के बीच का कोण $m_1\quad\&\quad m_2$ लाइनों का ढलान होना: $$\tan{\theta} =\big|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\big|$$ $$=\big|\frac{2\sqrt2-(-2\sqrt2)}{1+2\sqrt2\times-2\sqrt2}\big|= \big|\frac{4\sqrt2}{1-8}\big|=\frac{4\sqrt2}7$$

मेरा जवाब किताब से मेल नहीं खाता। पुस्तक बहुत प्रशंसनीय है, इसलिए यह गलत नहीं हो सकता। मुझे अपने समाधान में कोई त्रुटि नहीं मिली। पुस्तक में इसका उत्तर दिया गया है$$\pi - 2\arctan\sqrt8$$

संपादित करें: पुस्तक वास्तव में अपना उत्तर बताती है$\pi - 2\arctan\sqrt8$। मैं अंधा था जो 2 नहीं देख सकता था ।

जवाब

1 MichaelRozenberg Aug 16 2020 at 21:33

मुझे लगता है कि आपकी पुस्तक में दो गलतियाँ हैं।

पहले तो, $\theta$ एक तीव्र कोण होना चाहिए क्योंकि हम स्पर्शरेखा के बीच के कोण के बारे में कहते हैं और स्पर्शरेखा के खंडों के बारे में नहीं कहते हैं, लेकिन $\pi-\arctan\sqrt8>\frac{\pi}{2}.$

इसके अलावा, आपका जवाब $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}$ सच है और यहां तक ​​कि $\arctan\frac{4\sqrt2}{7}\neq\arctan\sqrt8$

आपके फिक्सिंग के बाद हमें यह साबित करने की जरूरत है $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=\frac{4\sqrt2}{7},$$ जो सच है क्योंकि $$\tan(\pi-2\arctan\sqrt8)=-\frac{2\cdot\sqrt8}{1-(\sqrt8)^2}=\frac{4\sqrt2}{7}.$$

1 WolfgangKais Aug 16 2020 at 22:49

जैसा कि आप पहले ही प्राप्त कर चुके हैं, $x$वक्र पर दो बिंदुओं के संकेत हैं $-\sqrt2$ तथा $\sqrt2$ (एक संबंधित के साथ $y$-का मूल्य $2$)।

चलो "सही स्पर्शरेखा" पर एक नज़र डालें $\big($पर $(+\sqrt2,2)$$\ बड़) $ । जैसे स्पर्शरेखा का ढलान $ 2 \ sqrt2 = \ sqrt8 $ है , $ x $ -AX के बीच का कोण और यह स्पर्शरेखा $ \ arctan \ sqrt8 $ है । इसलिए, उस स्पर्शरेखा और $ y $ -axis के बीच का कोण $ {\ pi \ over2} - \ arctan \ sqrt8 $ है । अंत में, इस कोण का दोगुना दो स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण है, जो वास्तव में $ \ pi-2 \ arctan \ sqrt8 $ है