बोरेल सेट बनाम बायर सेट

Question

(1) मान लीजिए कि मेरे पास एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस है $X$एक गणनीय आधार के साथ। बोरेल बीजगणित क्यों हैं$\mathcal{B}(X)$ ( $\sigma$-फिल्ड सेट्स द्वारा निर्मित क्षेत्र) और बेयर बीजगणित $\mathcal{B}a(X)$ ( $\sigma$-फील्ड कॉम्पैक्ट द्वारा उत्पन्न $G_\delta$सेट) बराबर? मुझे इसका प्रमाण कहां मिल सकता है?

(२) मान लीजिए कि अब $X$एक बेशुमार आधार है। उस स्तिथि में,$\mathcal{B}(X)$ तथा $\mathcal{B}a(X)$अब संयोग नहीं है, और मुझे पता है कि बैर सेट पर विचार करने से बोरेल सेट के कुछ विकृति से बचा जाता है। वे पैथोलॉजी क्या हैं? इसके अलावा, एक बोरेल सेट का क्या उदाहरण होगा जो बेयर नहीं है?

Answer 1

यह देखने के लिए कि बेयर सेट और बोरेल के संयोग के पहले मामले में, यह ध्यान दिया जाता है कि बायर्स सेट के लिए जेनरेटिंग सेट (कॉम्पैक्ट) $G_\delta$) हमेशा बोरेल (हौसडॉर्फ रिक्त स्थान में बंद का तात्पर्य है) ताकि बेयर $\subseteq$आसानी से बोरेल। और अगर$O$ खुला है हम इसे कॉम्पैक्ट की गणना योग्य संघ के रूप में लिख सकते हैं $G_\delta$ सेट, इसलिए सभी खुले सेट बैरे में हैं $\sigma$-फील्ड, इसलिए सभी बोरेल सेट भी हैं। (दूसरा गणना योग्य हौसडोर्फ कॉम्पैक्ट का तात्पर्य पूरी तरह से सामान्य है आदि)

यह देखने के लिए कि आम तौर पर क्या गलत हो सकता है, बाहर की जाँच करें $X=\omega_1 + 1$जो कि कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ है, लेकिन दूसरी गणना योग्य नहीं है। में इस,$\{\omega_1\}$ बंद है (इसलिए बोरेल) लेकिन बेयर नहीं (हेल्मोस अपने उपाय सिद्धांत में साबित होता है कि एक कॉम्पैक्ट सेट बाएयर है क्योंकि यह ए $G_\delta$और यह सिंगलटन नहीं है)। Dieudonné उपाय पर$X$एक बोरेल उपाय है कि नियमित रूप नहीं है, लेकिन है है जब हम बेयर सेट पर काम नियमित रूप से। टोपोलोस की पुस्तक, या टोपोलिन के टोपोलॉजिकल माप सिद्धांत में व्यापक कार्य देखें। बाइयर सेट लेना हमें एकीकरण सामान आदि करने के लिए पर्याप्त सेट से अधिक देता है और नियमितता गुणों के संदर्भ में बेहतर व्यवहार उपाय देता है।