Bures और कोण मैट्रिक्स के पीछे अंतर्ज्ञान क्या है?
मैं वास्तविक और आदर्श क्वांटम प्रक्रियाओं की तुलना करने के लिए दूरी के उपायों को पढ़ रहा हूं और इसे Bures मीट्रिक और कोण मीट्रिक के पीछे की प्रेरणा के बारे में बताया गया है।
Bures मीट्रिक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$$B(\rho,\sigma)=\sqrt{2-2 F(\rho,\sigma)}$$
कोण मीट्रिक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
$$A(\rho,\sigma)=\arccos(\sqrt{F(\rho,\sigma)})$$
कहाँ पे $F(\rho,\sigma)$ के बीच निष्ठा है $\rho$ तथा $\sigma$घनत्व मैट्रिक्स। वह कहते हैं कि हम शुद्ध राज्यों पर इस तरह की प्रेरणा को समझ सकते हैं: हम देखेंगे कि यह सामान्य यूक्लिडियन दूरी से आता है।
यदि मैं ऐसी गणना करता हूं, तो मैं यूक्लिडियन दूरी को परिभाषित करूंगा:
$$d(X,Y)=||X-Y||=\sqrt{\langle X-Y | X-Y \rangle}=\sqrt{2-2 Re(\langle X | Y \rangle)} $$
Bure metric खोजने के लिए मुझे मान लेना होगा $\langle X | Y \rangle \geq 0$।
लेकिन यह मामला क्यों होगा? उदाहरण के लिए यदि मैं विचार करता हूं:
$$|\psi \rangle = | a \rangle + |b \rangle $$
मैं बीच के सापेक्ष चरण को नहीं बदल सकता $|a \rangle$ तथा $|b \rangle$ जैसा कि मैं चाहता हूं (क्योंकि यह भौतिक स्थिति को बदल देगा $|\psi \rangle$)। इस प्रकार यदि$\langle a | b \rangle $ एक सकारात्मक संख्या नहीं है, मुझे लगता है कि इसके लिए मैं बहुत कुछ कर सकता हूं।
फिर ऐसे मेट्रिक के पीछे के अंतर्ज्ञान को कैसे समझा जाए? क्या मुझे वास्तव में इसे "अमूर्त" परिभाषा के रूप में मानना चाहिए, जिस पर मैं यह सत्यापित करता हूं कि यह एक मीट्रिक के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है? लेकिन यह उस तरह से अजीब होगा जिस तरह से पेपर पीछे की प्रेरणा को बताता है।
कोण मीट्रिक के लिए इसी तरह का प्रश्न।
[संपादित करें]: मुझे लगता है कि यह इस तथ्य से आ सकता है कि हम भौतिक अवस्थाओं के बीच की दूरी को परिभाषित करना चाहते हैं। मानते हुए$|\Phi \rangle$ तथा $| \Psi \rangle$दो भौतिक अवस्था, उनका वैश्विक चरण कोई मायने नहीं रखता। इस प्रकार, एक सरल सूत्र होने के लिए हम उनके चरणों का चयन कर सकते हैं$\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}$ ताकि $\langle \Psi | \Phi \rangle \geq 0$ जो ऊपरी सीमा के अनुरूप है: $\sup_{\phi_{\Psi}, \phi_{\Phi}}(Re[\langle \Psi | \Phi \rangle])=\langle \Psi | \Phi \rangle$। यह किसी भी तरह से समझ में आता है क्योंकि हम भौतिक और गणितीय अवस्थाओं के बीच की दूरी में रुचि रखते हैं । इस प्रकार हम दोनों राज्यों के वैश्विक चरणों को ठीक कर सकते हैं जैसा हम चाहेंगे।
क्या इसका कोई मतलब है ?
जवाब
पूर्ण उत्तर के लिए कई विवरण भरना -
लिंक किए गए लेख से शुरू, वास्तविक और आदर्श क्वांटम प्रक्रियाओं की तुलना करने के लिए दूरी के उपाय [arXiv: quant-ph / 0408063] , निष्ठा की परिभाषा Eqn में दी गई है। (४) जैसा$$ F(\rho,\sigma) = \mathrm{tr}\Bigl( \!\sqrt{\sqrt{\rho} \!\phantom|\sigma \phantom|\!\!\sqrt{\rho}\phantom|}\Bigr)^2$$- जो थोड़ा डराने वाला लग सकता है, लेकिन निष्ठा के बारे में दो महत्वपूर्ण बातों को दर्शाता है: यह सामान्य रूप से घनत्व ऑपरेटरों (न केवल राज्य वैक्टर) पर परिभाषित किया गया है , और यह हमेशा एक गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या है। यदि आप इसे शुद्ध राज्यों के लिए गणना करना चाहते हैं, तो उपरोक्त परिभाषा इसके समतुल्य है$$ F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) = \langle\psi\vert \phi\rangle\! \langle\phi\vert \psi\rangle = \bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert^2$$ जो हमेशा एक गैर-नकारात्मक वास्तविक है, और विशेष रूप से, जो किसी भी वैश्विक चरणों पर निर्भर नहीं करता है जिसे आप या तो राज्य के लिए विचार कर सकते हैं $\lvert \psi \rangle$ या $\lvert \phi \rangle$ (जो राज्य के बारे में भौतिक जानकारी नहीं है)।
Bures मीट्रिक (पृष्ठ 4 के दूसरे स्तंभ से) तब है $$ B(\rho,\sigma) = \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\rho,\sigma)}} $$ जो शुद्ध राज्यों के लिए सरल है $$\begin{aligned} B(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert) &= \sqrt{2 - 2\sqrt{F(\lvert \psi\rangle\! \langle \psi\rvert,\lvert \phi\rangle\! \langle \phi\rvert)}} \\&= \sqrt{2 - 2\bigl\lvert \langle\psi\vert \phi\rangle \bigr\rvert} \\&= \sqrt{2 - 2 \max \langle\psi'\vert \phi'\rangle},\end{aligned} $$ जहाँ यूनिट वैक्टर पर अधिकतम लिया जाता है $\lvert \psi'\rangle \propto \lvert \psi\rangle$ तथा $\lvert \phi'\rangle \propto \lvert \phi\rangle$।
आप पूछते हैं (अनुचित रूप से नहीं) क्यों, शुद्ध राज्यों के लिए, आप पूर्ण मूल्य लेंगे $\lvert \langle \psi \vert \phi \rangle \rvert$असली हिस्से के बजाय $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ जैसा कि यदि आप वैक्टर के आंतरिक उत्पादों के साथ सीधे काम कर रहे थे $\lvert \psi \rangle$ तथा $\lvert \phi \rangle$। इसका उत्तर यह है कि, क्योंकि हम राज्यों में रुचि रखते हैं और वास्तव में विशेष रूप से वैक्टर नहीं हैं जो उन राज्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं, राज्य के वैक्टर के साथ सीधे काम करना आवश्यक रूप से एक समझदार उत्तर प्रदान नहीं करेगा। एक राज्य के लिए$\lvert \phi' \rangle \propto \lvert \phi \rangle$के मूल्यों $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi \rangle$ तथा $\mathrm{Re}\,\langle \psi \vert \phi' \rangle$ आमतौर पर समान नहीं होगा - लेकिन क्या हम उपयोग करते हैं $\lvert \phi' \rangle$ या $\lvert \phi \rangle$राज्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए भौतिकी या हमारे भौतिकी के विश्लेषण पर कोई प्रभाव नहीं के साथ एक विशुद्ध रूप से मनमाना विकल्प होना चाहिए। इस तरह के मनमाने विकल्पों के तहत सूत्र का कोई भी विकल्प स्थिर होना चाहिए, और इसके अलावा (एक मीट्रिक के लिए) मूल्य प्राप्त करना चाहिए$0$ अगर हम अलग-अलग तरीकों पर विचार करें $\lvert \phi' \rangle$ तथा $\lvert \phi \rangle$ उसी राज्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए।
इस बात को ध्यान में रखते हुए कि, दिन के अंत में, यूक्लिडियन मीट्रिक को सरल बनाने के बारे में उनकी टिप्पणी से औपचारिक बयान देने के गंभीर प्रयास के बजाय अंतर्ज्ञान प्रदान करने का एक त्वरित प्रयास होने की संभावना है। हालाँकि, एक ऐसा अर्थ है जिसमें संपूर्ण मूल्य लेना (या यदि आप चाहें, तो वैश्विक चरणों तक समतुल्य राज्यों के बीच अधिकतम आंतरिक उत्पाद) "राज्यों" के बीच "यूक्लिडियन दूरी" के संबंध पर विचार करने के लिए सही दृष्टिकोण है, और मुझे उम्मीद है कि यह वही है जो उनके दिमाग में है।