चुंग एर्दो की असमानता साबित करने में श्वार्ज असमानता का उपयोग
मैं चुंग एर्दो की असमानता के प्रमाण को समझने की कोशिश कर रहा हूं। सभी स्रोत जिन्हें मैं पा सकता हूं (एमएसई पर संबंधित प्रश्न और उत्तर सहित) निम्नलिखित पंक्तियों के साथ कुछ बता सकते हैं: यदि$A_1, \ldots, A_n$ घटनाएँ हैं और यदि $X_i$ की विशेषता समारोह द्वारा दिया गया यादृच्छिक चर है $A_i$, $i = 1, \ldots, n$, फिर श्वार्ज असमानता से निम्न असमानता निम्नानुसार है:
$$[E(X_1+...+X_n)]^2 \leq P(X_1+...+X_{n}>0)E[(X_{1}+...+X_n)^2]$$
मैं शायद इस बारे में विशेष रूप से मूर्ख हूं, लेकिन मैं सिर्फ यह नहीं देख सकता कि ऊपर पाने के लिए श्वार्ज असमानता को कैसे लागू किया जाए।
जवाब
कॉची-श्वार्ज़ असमानता का एक रूप यह है $E[UV]^2\le E[U^2] E[V^2]$। (यह सामान्य CS असमानता है जो दूसरे क्षण के साथ वास्तविक मूल्यवान यादृच्छिक चर के स्थान पर लागू होती है, आंतरिक उत्पाद के साथ$\langle X,Y\rangle=E[XY]$।)
इस मामले में लागू करें $U=X_1+X_2+\cdots+X_n$ तथा $V=I_{U>0}$। ध्यान दें कि$E[U]=E[UV]$, उस $V^2=V$ और कि $E[V^2] = E[V] = P(U>0)$, अपनी असमानता को पहुंचाना $$E[X_1+\cdots+X_n]^2 = E[UV]^2\le E[V^2] E[U^2] = P(X_1+\cdots+X_n>0)E[(X_1+\cdots+X_n)^2].$$
चलो $X = X_1 + \cdots + X_n$ और द्वारा निरूपित करें $f$ इसकी संभावना घनत्व समारोह।
लिखो $X f = \sqrt{f} (X \sqrt{f})$। फिर
$$\left(\int X f dX\right)^2 \leq \int f dX \int X^2 f dX$$
कॉची-श्वार्ज़ द्वारा।