डायनेमिक सिस्टम की मात्रा का अर्थ क्या है
https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_systemबताते हैं कि राज्य स्थान या चरण स्थान का आयतन अपरिवर्तनीय है। व्याख्यान नोट शीर्षक "11 अजीब अट्रैक्टर तथा लाइपुनोव मंद।" Strogatz की पुस्तक से eq (2) मात्रा के एक समन्वय परिवर्तन से पता चलता है। मैं यह समझना चाहता हूं कि क्या नोट में दिखाए गए सबूत का मतलब है कि अजीब अट्रैक्टर के साथ सिस्टम का वॉल्यूम किसी तरह के ट्रांसफ़ॉर्मेशन जैसे कि कॉर्डिनेट ट्रांसफ़ॉर्मेशन के तहत अपरिवर्तनीय है। परिवर्तन के समन्वय से, हम चरण अंतरिक्ष पुनर्निर्माण उत्पन्न कर सकते हैं और इसका उपयोग करके हम एक अजीब आकर्षण प्राप्त कर सकते हैं । अराजक गतिशील प्रणाली के लिए पैरामीटर सेटिंग के उचित विकल्प पर हम अजीब देख सकते हैं। लेकिन मैं प्रमाण को समझने में असमर्थ हूं।
प्रश्न: क्या कोई यह बता सकता है कि कैसे सिद्ध किया जाए कि सिस्टम में अजीब अट्रैक्टर होने के लिए वॉल्यूम ट्रांसफॉर्मर है और इसका क्या मतलब है।
क्या अजीब आकर्षित करने वालों की मात्रा सिकुड़ती या बढ़ती है?
अद्यतन: 18 अगस्त
टिप्पणियों के तहत चर्चा के आधार पर, यह वही है जो मैं जो कुछ भी समझ सकता था उससे लिख सकता हूं। एक सुंदर तरीके से प्रूफ लेखन को पूरा करने में मदद की सराहना करेंगे।
सबूत: अराजक गतिकी में प्रणालियों द्वारा दिखाए गए अजीब आकर्षित करने वाले की मात्रा कुछ परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है और एक माप या मीट्रिक है।
मेरा विचार यह है, चलो $n_a$ आकर्षण आयाम और हो $d$ एम्बेडिंग आयाम हो और आकर्षित करने वाले के पास एक वॉल्यूम हो $v$ एक आकर्षण आयाम के साथ $n_a$। यदि अदिश मूल्यवान समय श्रृंखला उपलब्ध है, तो हम आकर्षित करने वाले को फिर से संगठित कर सकते हैं$d$ टेकन्स की देरी एम्बेडिंग विधि द्वारा आयामी चरण स्थान, $d \ge 2n+1$ कहाँ पे $n$मनाया प्रणाली का आयाम है। हमें वास्तविक मूल्य का ज्ञान नहीं है$n_a$। चूंकि, विघटनकारी प्रणाली की मात्रा के लिए$v \le 0$, यदि और केवल यदि $n \le n_a$, और शून्य के बराबर है क्योंकि इसका आयाम इससे कम है $n_a$। इसलिए कोई भी डिसिपेटिव सिस्टम अट्रैक्टर की मात्रा को संरक्षित करता है, जो शून्य है। निर्देशांक के परिवर्तन के लिए, चूँकि एक मापक शून्य समुच्चय है, इसलिए किसी भी सुगम मानचित्र के अंतर्गत आकर्षित करने वाले की छवि भी शून्य को मापेगी।
अब मैं यह कैसे साबित करूं कि आकर्षित करने वाला एक मापक शून्य है और लेबेसेग माप की तरह एक मीट्रिक है? क्या कोई औपचारिक रूप से इस प्रमाण को लिखने में मदद कर सकता है? धन्यवाद।
जवाब
जब वे वॉल्यूम कहते हैं, तो उनका वास्तव में मतलब होता है `माप। ' एक अंतरिक्ष पर एक उपाय$X$ एक समारोह है $\mu$ वह स्थान निर्दिष्ट करता है (या क्षेत्र, या वॉल्यूम, या संभावनाएँ - विशिष्ट स्थान $X$ या संदर्भ आमतौर पर यह निर्धारित करता है कि आप कैसे सोचते हैं कि "अच्छा" विषयों के लिए उपाय क्या है, ठीक है, मापने) $X,$ जहां "अच्छा" का अर्थ है कि पहले से किसी ने कुछ सबसेट का चयन किया है $X$हम माप सकते हैं। इन्हें मापने योग्य सेट कहा जाता है।
एक नक्शा $T : X\rightarrow X$ बताया गया $\mu$-इन्वैरिएंट if (a) जब भी $S$ मापने योग्य है, इसलिए है $T^{-1}(S)$, और बी) $\mu(T^{-1}S) = \mu(S)$ जब कभी $S$ मापने योग्य है।
इसे कैसे जांचना है, यह विशेष पर बहुत कुछ निर्भर करता है। एक अविश्वसनीय रूप से सामान्य, सहायक चाल यह है कि आपको उस स्थिति (ए) या (बी) की जाँच करने की आवश्यकता नहीं है, जो प्रत्येक मापने योग्य उपसमुच्चय के लिए है - यदि आप सेट के परिवार पर जाँच (ए) और (बी) करते हैं जो `उत्पन्न करता है’ मापने योग्य सेट का संग्रह, फिर आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह हर जगह है। उदाहरण के लिए, यदि आपका स्थान था$X = [0, 1]$ के सबसेट "लेम्बसग माप" के साथ एक सबसेट प्रदान करता है $X$ यह लंबाई है, यह जाँचने के लिए पर्याप्त होगा $T$ अंतराल के उपायों को संरक्षित करता है।
कुछ बातें:
- नोट को समीकरण 2 के तहत देखें:
डिसीपेटिव सिस्टम में आकर्षित करने वाले होते हैं, जबकि वॉल्यूम कंजर्विंग सिस्टम में आकर्षित करने वाले और न ही रिपेलर्स नहीं हो सकते।
यह इस अर्थ में सही है जहां "वॉल्यूम" का अर्थ लेब्स्गै माप है, अर्थात, वॉल्यूम की सामान्य परिभाषा $\mathbb{R}^n$। चरण स्थान की तुलना में आकर्षण कम आयाम के लिए आवश्यक हैं, इसलिए इसकी मात्रा (लेबेस लीग अर्थ में) 0 होनी चाहिए; जैसे, किसी सतह का आयतन$\mathbb{R}^3$सतह के 2-आयामी होने के बाद से 0 है। हो सकता है कि आयतन का यह संरक्षण तुच्छ हो क्योंकि आकर्षित करने वाले के पास आवश्यक रूप से लेब्सगेग की मात्रा शून्य होती है।
तो यह आपके चेहरे के सवाल का जवाब देता है। हालांकि, विचित्र रूप से आकर्षित करने वाले पर डायग्निक्स आम तौर पर एर्गोडिक होते हैं , जो कि आप पहले विकिपीडिया लेख में पढ़ रहे हैं। आम तौर पर एर्गोडिक डायनामिक्स में कुछ होता है जिसे इनवेरिएंट माप कहा जाता है , जिसका अर्थ है कि वॉल्यूम (माप) की कुछ धारणा है जो डायनेमिक्स (इनवेरिएंट) द्वारा संरक्षित है। इसलिए, यदि कोई आकर्षित करने वाले को पैरामीटर कर सकता है, अर्थात, से निर्देशांक का परिवर्तन ढूंढ सकता है$\mathbb{R}^n$ आकर्षित करने वाले के लिए, तो आकर्षित करने वाले और गतिकी के अपरिवर्तनीय माप के अर्थ में "वॉल्यूम" वास्तव में संरक्षित किया जाएगा।