धनात्मक पूर्णांक के पारस्परिक के योगों के अभिसरण / विचलन पर प्रश्न
सबसे आम ज्ञात अभिसरण परीक्षणों का अध्ययन करते हुए, मैंने पाया कि कुछ मामलों में ऐसे परीक्षण अनिर्णायक हैं (उदाहरण के लिए, अनुपात परीक्षण जब $r=1$, तुलनात्मक परीक्षण जब श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण है, आदि), तो मैं श्रृंखला के लिए कुछ संभावित अभिसरण परीक्षण के बारे में सोच रहा हूं जिसमें सकारात्मक पूर्णांक के पारस्परिक योग शामिल हैं।
इस परीक्षण के पीछे तर्क निम्न है: किसी भी तरह, सकारात्मक पूर्णांक के दिए गए सबसेट के घनत्व का मूल्यांकन किया जा सकता है और उनकी तुलना उनके आंशिक मल के माध्यम से की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यह सहज है कि का एक सेट$n$ धनात्मक पूर्णांक ऐसे $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ के सेट की तुलना में अधिक सघन है $n$ धनात्मक पूर्णांक ऐसे $\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$।
सकारात्मक पूर्णांकों के पारस्परिक के कुछ सबसे ज्ञात श्रृंखलाओं पर एक नज़र डालते हुए, इसे ठीक से देखना आसान है $\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ यह पॉजिटिव पूर्णांकों के सबसे सघन संभावित सबसेट के लिए आंशिक योग है, क्योंकि यह लगातार पॉजिटिव पूर्णांक का योग है $1$। यह ज्ञात है और आसानी से साबित होता है कि योग$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a_{k}}$ विचलन, दर की दर से $\ln(n)$। अन्य ज्ञात विचलन अनुक्रम, अभाज्य संख्याओं के योग का योग, अकारण की दर से भिन्न होता है$\ln\ln(n)$, और लगातार अभाज्य संख्याओं का आंशिक योग है $\sum_{k=1}^{n}p_k=\frac{1}{2}n^2\ln(n)$। हालांकि, पहले से ही आंशिक राशि का उल्लेख किया$\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ त्रिकोणीय संख्याओं के सेट से मेल खाती है, और हमारे पास वह है $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{b_{k}}=2$।
कहा गया संभावित अभिसरण परीक्षण किसी कार्य के अस्तित्व पर निर्भर करता है $F(n)$, के रूप में $\frac{1}{2}n^2\ln(n)<F(n)<\frac{n(n+1)(n+2)}{6}$, सकारात्मक पूर्णांक के प्रत्येक अनंत सबसेट के लिए ऐसा है $S=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ ऐसा है कि $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=\infty$, तो हम इसकी पुष्टि कर सकते हैं $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}<\infty$; और अगर$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=0$, तो हम इसकी पुष्टि कर सकते हैं $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}=\infty$।
इसलिए, परीक्षण अनुक्रम के हर के योग पर आधारित होगा, और इसके निम्न रूप होंगे:
(संभव) अभिसरण परीक्षण
सकारात्मक पूर्णांक के कुछ अनंत सबसेट को देखते हुए $S=\left\{ a_{1},a_{2},...\right\}$ ऐसा है कि $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=\infty$, तो हम इसकी पुष्टि कर सकते हैं $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}<\infty$; और अगर$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}{F(n)}=0$, तो हम इसकी पुष्टि कर सकते हैं $\sum_{a\in S}\frac{1}{a}=\infty$
अब सवाल यह है कि क्या इस तरह के कार्य का अस्तित्व संभव है $F(n)$? क्या यह यहाँ सिद्ध तथ्य के अनुकूल है:https://math.stackexchange.com/questions/452053/is-there-a-slowest-rate-of-divergence-of-a-series#:%7E:text=Talking%20about%20getting%20closer%20to,%22the%20slowest%20diverging%20series%22?
मेरा मानना है कि इस तरह के एक समारोह का अस्तित्व संभव है, और यह संगत होगा यदि इसमें सकारात्मक पूर्णांक के बराबर कोई आंशिक राशि मौजूद नहीं है $F(n)$। उदाहरण के लिए, यदि काल्पनिक रूप से$F(n)=n^e$, धनात्मक पूर्णांक का कोई सेट मौजूद नहीं होगा जैसे कि अभिसरण / विचलन की दर थी $0$।
कोई भी टिप्पणी / अनुमान कैसे 1) के अस्तित्व या गैर-अस्तित्व को साबित करता है $F(n)$, और 2) सन्निकटन $F(n)$ स्वागत किया जाएगा!
जवाब
दुर्भाग्य से, यहां तक कि तेजी से बढ़ते कार्य $F(n)$ आश्वासन देने में विफल रहता है $1/a_n\to 0$। उदाहरण के लिए, डाल दिया$a_{2k}=k!$ तथा $a_{2k+1}=1$ प्रत्येक प्राकृतिक के लिए $k$। तब भी जब हमें इसकी आवश्यकता होती है$\{a_n\}$ गैर-घटता है, यह तेजी से विकास एक श्रृंखला के अभिसरण को आश्वस्त करने में विफल हो सकता है $\sum_{i=1}^n \tfrac 1{a_i}$। उदाहरण के लिए, प्रत्येक बहुत तेजी से बढ़ते कार्य के लिए$g:\Bbb N\to\Bbb N$ अनुक्रम दें $\{a_n\}$ संख्या के लगातार ब्लॉक शामिल हैं $g(k)$ और लंबाई $g(k)$। फिर एक क्रम$\{1/a_n\}$ विचलन, लेकिन एक अनुक्रम $\{\sum_{i=1}^{n} a_i\}$ पर बड़ा कूदता है $g(k+1)$ प्रत्येक पर $n(k)=1+\sum_{i=1}^k g(i)^2$।
दूसरी ओर, अंकगणितीय और हार्मोनिक साधनों के बीच असमानता का अर्थ है $$\sum_{i=1}^n \frac 1{a_i}\ge \frac{n^2}{\sum_{i=1}^n a_i},$$ इस प्रकार यदि इस असमानता का दाहिना हाथ निर्बाध है तो श्रृंखला $\sum_{i=1}^n \tfrac 1{a_i}$ diverges।