दिए गए $2\times 2$ आव्यूह $A$, दो अनूठे eigenvalues ​​गारंटी देता है कि $A$ विकट है?

Dec 07 2020

यह प्रश्न एक संगोष्ठी से संबंधित है जिस पर मैं काम कर रहा हूं, इसलिए मैं पूरे प्रश्न का खुलासा नहीं करना चाहता हूं, लेकिन केवल यह पूछें कि यह कैसे सिद्धांत में संभाला जाएगा।

$A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ $Q=(\lambda I - A) = \begin{bmatrix}\lambda - a & -b \\ -c & \lambda - d \end{bmatrix}$

हम तो के eigenvalues ​​को खोजना चाहते हैं $A$, जो हल करने के लिए प्रतिक्रिया करता है $\det(Q)=0$। मेरा प्रश्न यह है कि यह देखते हुए कि हमें दो विशिष्ट प्रतिरूप प्राप्त होंगे, क्या इसका अर्थ है कि हम उस मैट्रिक्स की गारंटी दे सकते हैं$A$विकर्ण है? मुझे केवल एक प्रमेय मिला है जो कहता है कि अगर हमारे पास दो अलग-अलग आइजनवेक्टर हैं तो ए$2\times 2$ आव्यूह $A$, तब फिर $A$ विकट है ...

सहायता के लिए बहुत आभार होगा!

जवाब

NirF Dec 06 2020 at 23:39

यदि आपके पास है $2$ अद्वितीय स्वदेशी, इसका मतलब है कि आपकी विशिष्ट बहुपद इस तरह दिखाई देगी: $(λ-a)(λ-b)$, कहां है $a$ तथा $b$आपके स्वदेशी हैं।
यदि मैट्रिक्स अपने प्रत्येक प्रतिजन के लिए बीजगणितीय बहुलता ज्यामितीय बहुतायत के बराबर है, तो एक मैट्रिक्स विकर्ण है।
हमारे मामले में आपके पास एक बीजीय गुणक है$1$ (प्रत्येक ईजेंवल्यू के लिए), और इस प्रकार उनकी ज्यामितीय बहुलता भी बराबर है $1$ ()$0<\text{geometric multiplicity} \leq \text{algebraic multiplicity}$) इस प्रकार मैट्रिक्स विकर्ण है।
तो एक सामान्य के लिए$n\times n$ मैट्रिक्स यदि आपके पास है $n$ अनोखा आइजनवेल्यूज, यह विकट है।

2 RobertLewis Dec 07 2020 at 00:56

अगर $A$ एक $n \times n$ मैट्रिक्स जिनमें से अलग-अलग हैं, वहाँ गैर-शून्य वैक्टर मौजूद हैं $V_i$, $1 \le i \le n$, साथ से

$AV_i = \mu_i V_i \tag 1$

$\mu_i$ के विशिष्ट प्रतिजन होने के नाते $A$। यह सर्वविदित है कि अलग-अलग स्वदेशी से जुड़े eigenvectors रैखिक स्वतंत्र हैं; इस प्रकार मैट्रिक्स

$S = [V_1 \; V_2 \; \ldots \; V_n ] \tag 2$

गैर-एकवचन है और इसलिए उलटा है, इसलिए वहाँ मौजूद है $n \times n$ आव्यूह $S^{-1}$ साथ से

$S^{-1}S = SS^{-1} = I; \tag 3$

भी,

$AS = [AV_1 \; AV_2 \; \ldots \; AV_n ] = [\mu_1 V_1 \; \mu_2 V_2 \; \ldots \; \mu_n V_n]; \tag 4$

इस प्रकार

$S^{-1}AS = S^{-1} [\mu_1 V_1 \; \mu_2 V_2 \; \ldots \; \mu_n V_n] = [\mu_1 S^{-1} V_1 \; \mu_2 S^{-1} V_2 \; \ldots \; \mu_n S^{-1} V_n]; \tag 5$

अब (2) और (3) के अनुरूप,

$S^{-1}S = S^{-1} [V_1 \; V_2 \; \ldots \; V_n ] = [S^{-1} V_1 \; S^{-1} V_2 \; \ldots \; S^{-1} V_n ] = I, \tag 6$

जो दर्शाता है कि प्रत्येक $S^{-1} V_i$ कॉलम वेक्टर है जिसका $i$-इस प्रविष्टि के बराबर है $1$ अन्य सभी तत्वों के साथ $0$; इस अवलोकन को हम (5) में शामिल करते हैं

$S^{-1}AS = \text{diag}(\mu_1, \; \mu_2, \; \ldots, \; \mu_n), \tag 7$

और हम इस प्रकार पाते हैं $A$ द्वारा विकर्ण किया जाता है $S$$OE \Delta$