दिए गए कार्य $h,k:\Bbb R\to \Bbb R$, क्या यह निर्धारित करना संभव है $f,g:\Bbb R\to\Bbb R$ मौजूद है ताकि $g\circ f=h$ तथा $f\circ g=k$?
मान लीजिए कि मेरे दो कार्य हैं $h,k:\Bbb R\to \Bbb R$। मैं खोजना चाहता हूँ$f,g:\Bbb R\to \Bbb R$ ऐसा है कि $g\circ f=h$ तथा $f\circ g=k$। मुझे पता है$f,g$अस्तित्व में नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, रचना और घातांक शामिल कार्यात्मक समीकरण )। क्या हम कम से कम एक शर्त जानते हैं$h,k$ ऐसा है कि $f,g$ मौजूद?
किस शर्त की विशिष्टता की गारंटी देता है $f,g$(बशर्ते कि वे मौजूद हों)? ध्यान दें कि वहाँ हैं$h,k$ ऐसा है कि $f,g$अद्वितीय नहीं हैं। उदाहरण के लिए,$h=k=0$, कहां है $f=0$ काम करता है और $g$ किसी भी समारोह सेंट है $g(0)=0$। या जब$h=k$ पहचान समारोह है, और हम लेते हैं $f$ किसी भी आक्षेप और $g=f^{-1}$।
बहुत कम से कम, हम इस समस्या के बारे में कब जानते हैं $h,k$बहुपद कार्य हैं? क्या एक साधारण परीक्षण है जो हमें बताता है कि बहुपद हैं$f,g$ कि दी गई बहुपत्नी की जोड़ी के लिए शर्तों को पूरा करें $h,k$? फिर, बहुपदीय समाधानों की विशिष्टता के बारे में क्या?
यदि सामान्य समस्या बहुत कठिन है, तो मुझे इस विशिष्ट समस्या में सबसे अधिक दिलचस्पी है। मैं खोजना चाहता हूँ$f,g:\Bbb R\to\Bbb R$ ऐसा है कि $$g\circ f(x)=x^3+1$$ तथा $$f\circ g(x)=x^3+3x^2+3x+2.$$ स्पष्ट रूप से $f,g$यदि वे मौजूद हैं तो विशेषण कार्य हैं। तो, क्या हम इसका मूल्य निर्धारित कर सकते हैं$g\circ f^{-1}(-7)$?
मुझे मिला $f,g$वह लगभग काम करता है। कब$f(x)=x^3$ तथा $g(x)=x+1$, अपने पास $g\circ f(x)=x^3+1$ लेकिन आ $f\circ g(x)=x^3+3x^2+3x+1$। दुर्भाग्य से वे काफी काम नहीं करते। मुझे यह भी पता है कि बहुपद कार्य नहीं हैं$f,g$ वो काम।
ध्यान दें कि $$f(x^3+1)=f(x)^3+3f(x)^2+3f(x)+2$$ तथा $$g(x^3+3x^2+3x+2)=g(x)^3+1.$$ $\therefore$ अगर $a,b$ अद्वितीय वास्तविक संख्याएं ऐसी हैं $a^3+1=a$ तथा $b^3+3b^2+3b+2=b$, हम देखते है कि $f(a)=b$ तथा $g(b)=a$। ये एकमात्र मूल्य हैं$f$ तथा $g$मुझे पता है कि। लेकिन मैं यह भी देख सकता हूं$$ f^{-1}(-7)=g(-3)$$ अगर वह मदद करता है।
चलो $h(x)=x^3+1$ तथा $k(x)=x^3+3x^2+3x+2$। के चलते$f\circ g(x)$ तथा $g\circ f(x)$दिया जाता है; खोजो$f$ तथा $g$, अगर $f=f_0$ तथा $g=g_0$ शर्तों को पूरा करें, फिर $f=f_0\circ \phi$ तथा $g=\phi^{-1}\circ g_0$ किसी भी आपत्ति के लिए एक समाधान तैयार करें $\phi:\Bbb R\to\Bbb R$ ऐसा है कि $h\circ \phi=\phi\circ h$। क्योंकि की कोई पुनरावृति$h$ के साथ आवागमन करता है $h$, हम देख सकते हैं कि असीम रूप से कई हैं $f$ तथा $g$, अगर $f_0,g_0$मौजूद। मैं कैसे देखूं?$f_0,g_0$ मौजूद?
जवाब
अगर $h= g\circ f$ तथा $k= f\circ g$, में से एक $h,k$ है, और फिर अन्य इंजेक्शन $f$, $g$, $h$, $k$ सभी विशेषण हैं और $$k = f\circ h \circ f^{-1}$$, अर्थात् $h$, $k$संयुग्म हैं। इसके विपरीत, यदि$h$, $k$ संयुग्मित हैं, तो आप पा सकते हैं $f$, और फिर $g$। अब, संयुग्मन एक समतुल्य संबंध है।
अब हमारे उदाहरण में $h(x) = x^3+1$, $k(x) = (x+1)^3 + 1$, तोह फिर $k(x-1) + 1 = x^3+2$, का एक संयुग्म $k$। तो अब हम देखना चाहते हैं कि नहीं$h_1(x) = x^3+1$ तथा $h_2(x) =x^3+2$संयुग्म हैं। ध्यान दें कि दोनों में एक विशिष्ट निश्चित बिंदु है$\xi_1$, $\xi_2$, और के लिए $x> \xi_i$ अपने पास $h_i^{n}(x) \to \infty$ जैसा $n\to \infty$, $h_i^{n}(x) \to \xi_i$, जैसा $n\to -\infty$, जबकि इसके लिए $x< \xi_i$, अपने पास $h_i^{n}(x) \to -\infty$ जैसा $n\to \infty$, $h_i^{n}(x) \to \xi_i$, जैसा $n\to -\infty$। इसलिए, सभी कक्षाओं की$h_i$-निश्चित बिंदु वाले एक को अनंत मानें। तो एक जीव है$\phi\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ ऐसा है कि $h_2= \phi\circ h_1\circ \phi^{-1}$। यह स्पष्ट रूप से अद्वितीय नहीं है, इसलिए यह एक अच्छा है$\phi$वांछित होगा। ध्यान दें कि$\phi$ का निर्धारित बिंदु लेता है $h_1$ के निश्चित बिंदु तक $h_2$।
ऐसा प्रतीत होता है कि दोनों $h_1$, $h_2$ नक्शे की तरह व्यवहार करें $x\to 2 x$। क्या वे स्थैतिक रूप से इसके अनुरूप हैं? ध्यान दें कि$l(x) = 2x$ का हिस्सा है $1$-विशेषता का समूह समूह $\mathbb{R}$, $(t,x)\mapsto 2^{t}\cdot x$। अगर$h_1$, $h_2$ के लिए संयुग्मित हैं $l$, तो वे भी प्रत्येक का एक हिस्सा हैं $1$-समारोह का समूह $\mathbb{R}$। विशेष रूप से, वहाँ मौजूद है$\psi$ का एक घरवाद $\mathbb{R}$ ऐसा है कि $\psi\circ \psi(x) = x^3+1$। ऐसा होमोमोर्फिज्म क्या होगा?
$\bf{Added:}$ मामला जहां दोनों का है $k$, $k$पूर्वाग्रह सरल होते हैं, यह इस सवाल को कम कर देता है कि जब दो नक्शे एक आक्षेप के तहत संयुग्मित होते हैं। वे और केवल अगर नक्शे के "ग्राफ" आइसोमोर्फिक हैं, जहां ग्राफ में कोने होते हैं$x$, और किनारों $(x, h(x))$। अनुमानों के लिए, उनकी चक्र संरचना समान होनी चाहिए।
उदाहरण के लिए नक्शे पर विचार करें $x\mapsto 2 x$, तथा $x\mapsto 4 x$। वे आपत्ति के तहत संयुग्मित हैं$x\mapsto x^{2_+}\colon = x^2 \operatorname{sign} x$। मानचित्र$x\mapsto 2x$, तथा $x\mapsto 3x$ नक्शे के तहत संयुग्म हैं $x\mapsto x^{\log_2 3_+}$।
यह बहुत ही शानदार विश्लेषण का एक परिशिष्ट है जो पहले से ही संतरे द्वारा दिया गया है। उनके विश्लेषण के प्रकाश में, मैं स्थावर संयुग्मन के बारे में कुछ आसान तथ्य प्रदान करूँगा।
दावा 1: यदि$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ सख्ती से बढ़ती जा रही है, निरंतर, ऊपर और नीचे, और इस तरह के बिना $f(0)>0$, तो वहाँ एक सख्ती से बढ़ रहा है और निरंतर है $\varphi:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ ऐसा है कि $\varphi(0)=0$ तथा $f\circ\varphi(x)=\varphi(x+1)$। इसके अलावा अगर$f(x)>x$ सबके लिए $x\in\mathbf{R}$, तब फिर $\varphi$ ऊपर और नीचे भी अबाधित है।
प्रमाण: चूंकि हम जानते हैं$f(0)>0$, जाने दो $\varphi(a)=af(0)$ सबके लिए $a\in[0,1)$। हम बाकी को परिभाषित करेंगे$\varphi$ स्पष्ट fasion में विस्तार करके: $\varphi(x)=f^{(\lfloor x\rfloor)}\circ\varphi\left(x-\lfloor x\rfloor\right)$, कहां है $f^{(-)}$ जैसा कि, कार्यात्मक पुनरावृत्ति दर्शाता है $f$विशेषण है। स्पष्ट रूप से अगली बात यह जांचना है कि यह आवश्यकताओं को पूरा करता है:
हमने मजबूर किया $f\circ\varphi(x)=\varphi(x+1)$ विरोधाभास से, ऐसा किया जाता है।
निरंतरता की जांच करने के लिए, ध्यान दें $f^{(\lfloor x\rfloor)}$ हमेशा निरंतर होता है, इसलिए कार्यात्मक संरचना द्वारा $\varphi$ लगातार खत्म हो रहा है $\mathbf{R}\smallsetminus\mathbf{Z}$। निरंतरता की जांच करना$\mathbf{Z}$, यह निरंतरता की जाँच करने के लिए पर्याप्त है $x\to 1^-$। इस नोट के लिए कि$$\varphi(1)=f\circ\varphi(0)=f(0)=\lim_{x\to 1^-}\varphi(x)$$
देखना $\varphi$ सख्ती से बढ़ रहा है, ध्यान दें कि $f^{(\lfloor x\rfloor)}$ धारणा और कड़ाई से बढ़ रही है $\varphi$ सख्ती से बढ़ रही है $[0,1)$, तो हम प्राप्त करते हैं $\varphi$ सभी अंतरालों पर सख्ती से बढ़ रहा है $[z,z+1)$ कहां है $z\in\mathbf{Z}$। हालाँकि$\varphi$ निरंतर है, और इसलिए यह सख्ती से बढ़ रहा है $\mathbf{R}$।
अब "अधिक" भाग की जांच करने के लिए।
- अगर $\varphi$ अबाधित नहीं है, तो मोनोटोन अभिसरण द्वारा, एक बाध्य है $M=\lim_{x\to A}\varphi(x)$ कहां है $A\in\pm\infty$। हालाँकि, के रूप में$f$ निरंतर है, $$f(M)=f\left(\lim_{x\to A}\varphi(x)\right)=\lim_{x\to A}f(\varphi(x))=\lim_{x\to A}\varphi(x+1)=M$$ यह विरोधाभास है कि $f(x)>x$ सबके लिए $x\in\mathbf{R}$।
दावा २: यदि$f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ सख्ती से बढ़ रही है और निरंतर, ऐसा है कि $f(0)=0$ तथा $f(x)>x$ सबके लिए $x>0$, फिर एक सख्ती से बढ़ रहा है, निरंतर, और अबाधित $\varphi:[0,\infty)\to[0,\infty)$ ऐसा है कि $\varphi(0)=0$ तथा $f\circ\varphi(x)=\varphi(2x)$।
प्रमाण: चलो$g:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ द्वारा दिया जाए $g(x)=\log_2 f(2^x)$। क्लेम 1 से, कुछ है$\psi:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ यह कड़ाई से बढ़ रहा है, निरंतर, ऊपर और नीचे, और इस तरह के बिना $g\circ\psi(x)=\psi(x+1)$। तो करने दें$\varphi(x)=2^{\psi(\log_2 x)}$, तो हम देखते हैं कि $$\varphi(2x)=2^{\psi(1+\log_2 x)}=2^{g\circ\psi(\log_2 x)}=f(2^{\psi(\log_2 x)})=f\circ\varphi(x)$$
दावा 3: यदि$f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ कड़ाई से बढ़ रहा है, निरंतर है, और एक निश्चित अस्थिर बिंदु है $c$, अर्थात्, $f(x)>x$ सबके लिए $x>c$ तथा $f(x)<x$ सबके लिए $x<c$, फिर बढ़ती हुई होमियोमॉर्फिज़्म है $\varphi:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ ऐसा है कि $\varphi^{-1}\circ f\circ \varphi(x)=2x$।
प्रमाण: चलो$g:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ द्वारा दिया जाए $g(x)=f(x+c)-c$, इस प्रकार $g$ के साथ सभी संपत्तियों को साझा करता है $f$ के सिवाय $0$ का निश्चित बिंदु है $g$। क्लेम 2 तक, बढ़ती हुई होमियोमॉर्फिम्स हैं$\varphi_{\pm}:[0,\infty)\to[0,\infty)$ ऐसा है कि $\varphi_{\pm}(0)=0$, और इसके अलावा दोनों $\varphi_+^{-1}\circ g\circ\varphi_+(x)=2x$ तथा $\varphi_-^{-1}(-g(-\varphi_-(x)))=2x$। चलो$\psi:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ द्वारा दिया जाए $$\psi(x)=\begin{cases} \varphi_+(x)&\text{if }x\ge 0\\ -\varphi_-(-x)&\text{if }x<0 \end{cases}$$ फिर यह देखना कठिन नहीं है $\psi$ एक बढ़ती हुई होमियोमॉर्फिज़्म है जैसे कि $\psi^{-1}\circ g\circ\psi(x)=2x$। अंत में दो$\varphi:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ द्वारा दिया जाए $\varphi(x)=\psi(x)+c$, तो फिर $$2x=\varphi^{-1}(\psi(2x)+c)=\varphi^{-1}(g\circ\psi(x)+c)=\varphi^{-1}\circ f\circ\varphi(x)$$
एक कोरोलरी के रूप में, ध्यान दें कि दोनों $x^3+1$ तथा $x^3+2$ दावा 3 को संतुष्ट करता है, इसलिए दोनों को मिलाया जाता है $2x$।
यह भी ध्यान दें कि यह पूरी तरह से सबूत को संशोधित करने के लिए संभव है कि दोनों $x^3+1$ तथा $x^3+2$ के लिए संयुग्मित हैं $2x$ के माध्यम से एक homeomorphism कि सभी पर चिकनी है $\mathbf{R}$ निश्चित बिंदु पर छोड़कर।
यह अपरिहार्य है:
जोड़ा गया दावा 4: दो रैखिक कार्यों पर विचार करें$f(x)=2x$ तथा $g(x)=4x$। चलो$\varphi:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ किसी भी तरह का घरवाद हो $\varphi\circ f=g\circ\varphi$। फिर$\varphi$ पर लगातार दो बार अलग नहीं किया जा सकता है $0$।
प्रमाण: यह मानकर नहीं कि टेलर के प्रमेय से हमारे पास है$$\varphi(x)=ax+bx^2+h(x)\cdot x^2$$ कहां है $h$ निरंतर है $h(0)=0$। फिर विस्तार करके$\varphi\circ f=g\circ\varphi$, हम अंततः प्राप्त करते हैं $$h(2x)-h(x)=\frac{a}{2x}$$ सीमा लेना $x\to 0$ दोनों तरफ, हम देखते हैं कि $a=0$, तथा $h(2x)=h(x)$। हालाँकि की निरंतरता$h$ पर $0$ इसका आशय है $h$ पहचान है $0$, जिसका अर्थ है कि $\varphi(x)=bx^2$, तथा $\varphi$ होमियोमॉर्फिज़्म नहीं हो सकता।