दिखाओ कि वहाँ मौजूद है $x_0$ ऐसा है कि $p(x_0) < q(x_0)$ दिए गए बहुपद के लिए
अगर $p(x) = x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ तथा $q(x) = x^2+px+q$वास्तविक गुणांक वाले दो बहुपद होते हैं। मान लीजिए कि एक अंतराल मौजूद है$(r,s)$ 2 से अधिक की लंबाई ऐसी है कि दोनों $p(x)$ तथा $q(x)$ के लिए नकारात्मक हैं $x \in (r,s)$ और दोनों के लिए सकारात्मक हैं $x<r$ या $x>s$। दिखाओ कि वहाँ मौजूद है$x_0$ ऐसा है कि $p(x_0) < q(x_0)$
जबसे $q(x)$ एक द्विघात है, इसलिए $r$ तथा $s$ जड़ होना है।
लेकिन आ, $r$ तथा $s$ की जड़ें भी हैं $p(x)$ तोह फिर, $q(x)$ का कारक होना चाहिए $p(x)$, इसलिए
$p(x) = q(x)g(x)$
कहा पे $g(x)$एक द्विघात भी है। लेकिन यह उतना ही है जितना मुझे मिल सकता है। यहाँ से कैसे आगे बढ़ें? आप हालत का उपयोग कैसे करते हैं$s-r > 2$?
किसी भी सहायता की सराहना की जाएगी।
जवाब
$r$ तथा $s$ दोनों की जड़ें हैं $p(x)$ तथा $q(x)$ और इसलिए इसकी जड़ भी यही है $p(x) - q(x)$।
$q(x) = (x-r)(x-s)$ कहां है $|r - s| \gt 2$
$p(x) - q(x) = q(x)f(x)$
चलो मान लो $p(x) - q(x)$ हमेशा गैर-नकारात्मक है, लेकिन इसकी जड़ें दी गई हैं $r$ तथा $s$, यह तभी संभव है जब $f(x)$ जब भी नकारात्मक हो $q(x)$ है और $f(x)$ जब भी सकारात्मक हो $q(x)$ है।
इसका मतलब है कि इसमें दोहरी जड़ें हैं $r$ तथा $s$ अर्थात $p(x) - q(x) = (x-r)^2(x-s)^2$
अर्थात $p(x) - q(x) = q(x)^2$
अर्थात $p(x) = q(x)(q(x)+1)$
अर्थात $1+q(x) \gt 0$ जैसा $p(x)$ तथा $q(x)$ सब पर एक ही संकेत है $x$।
अर्थात $x^2-(r+s)x+(rs+1) \gt 0$
यह इसके विवेचक के रूप में सत्य नहीं हो सकता $(r-s)^2 - 4 \gt 0$जैसा कि समस्या में दिया गया है। तो जहाँ x का मान है$p(x) \lt q(x)$।
[नोट: फ़ंक्शन $ax^2+bx+c$ दो असली जड़ें हैं अगर इसके विभेदक $b^2-4ac \gt 0$]