डीरेक है $\delta$-आवश्यक रूप से सममिति?
द डीरेक $\delta$-फंक्शन को एक वितरण के रूप में परिभाषित किया गया है जो इन बाधाओं को संतुष्ट करता है:
$$ \delta (x-x') = 0 \quad\text{if}\quad x \neq x' \quad\quad\text{and}\quad\quad \delta (x-x') = \infty \quad\text{if}\quad x = x'$$
$$\int_{-\infty} ^{+\infty} \delta(x-x')\, dx = 1 $$
कुछ लेखकों ने एक और अड़चन यह है कि डायरैक $\delta$-संयम सममित है, अर्थात $\delta(x)=\delta(-x)$
अब मेरा प्रश्न यह है कि क्या हमें अलग से उस बाधा को थोपना होगा $\delta$-चुंबन सममित है या यह स्वचालित रूप से अन्य बाधाओं से आता है?
ठीक है, मेरी क्वेरी को स्पष्ट रूप से समझाने के लिए, मैं इस तरह एक फ़ंक्शन को परिभाषित करने जा रहा हूं: $$ ξ(t)=\lim_{\Delta\rightarrow0^+} \frac{\frac{1}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}{\rm rect}\left(\frac{2x}{\Delta}-\frac{1}{2}\right)}{\Delta} $$ कहां है ${\rm rect}(x)$ परिभाषित किया जाता है: $$ {\rm rect}(x)= 1 \quad\text{if}\quad |x| < \frac{1}{2} \quad\quad\text{and}\quad\quad {\rm rect}(x)= 0 \quad\text{elsewhere}. $$ $ξ(t)$ निश्चित रूप से सममित नहीं है, लेकिन यह निम्न स्थितियों को पूरा करता है, $$ ξ(t)= 0 \quad\text{if}\quad t \neq 0 \quad\quad\text{and}\quad\quad ξ(t)= \infty \quad\text{if}\quad t = 0$$ $$\int_{-\infty} ^{+\infty} ξ(t)\,dt = 1 $$
अब, मेरा प्रश्न यह है कि क्या हम परिभाषित कर सकते हैं $ξ(t)$ Dirac डेल्टा फ़ंक्शन के रूप में या नहीं?
जवाब
"डेल्टा फ़ंक्शन" एक फ़ंक्शन नहीं है, लेकिन एक वितरण है। डिस्ट्रीब्यूशन फ़ंक्शन के लिए नंबर असाइन करने के लिए वितरण एक प्रिस्क्रिप्शन है। यह वितरण सामान्य अर्थों में फ़ंक्शन मानों का नहीं हो सकता है। डेल्टा वितरण के मामले में, इसमें फ़ंक्शन मान नहीं हैं।
तो बयान की तरह
$$ \delta(x) = \delta(-x) \quad\text{for all }x \tag{*} $$ अर्थ "का मूल्य $\delta$ पर $x$ के बराबर होता है $\delta$ पर $-x$"अर्थहीन / अमान्य है।
लेकिन बयान $$ \int dx~ \delta(x) f(x) = \int dx~\delta(-x) f(x) \quad \text{for all functions }f \tag{**} $$ मान्य हो सकता है।
आप आसानी से सत्यापित कर सकते हैं कि का कार्य $\Delta$ तथा $x$ (परिभाषा में सीमा चिन्ह के बाद की अभिव्यक्ति $\xi$) इन दोनों कथनों में (की भूमिका में) संतुष्ट नहीं करता है $\delta$) का है। तो यह "सममित" नहीं है।
डेल्टा वितरण काल्पनिक रूप से केवल दूसरे कथन को संतुष्ट कर सकता है। क्या यह ऐसा करता है?
हम समानता के दोनों पक्षों का मूल्यांकन कर सकते हैं। बाएं हाथ की ओर का मान है, की परिभाषा के द्वारा$\delta(x)$, $f(0)$।
हम दायीं ओर के अभिन्न अंग को रूपांतरित कर सकते हैं $$ \int dx~\delta(-x) f(x) = \int dy~\delta(y) f(-y) $$ की परिभाषा के द्वारा $\delta(y)$, इस अभिन्न का मूल्य है $f(0)$बाएं हाथ के समान। तो (**) संतुष्ट है।
समीकरण $\delta(x) = \delta(-x)$ इस प्रकार की परिभाषा का परिणाम है $\delta(x)$, यह स्वतंत्र धारणा नहीं है।
आपका कार्य $\xi$ वास्तव में दूसरे कथन का भी पालन कर सकते हैं (और इस तरह उस अर्थ में सममित होना चाहिए), भले ही $\Delta$सीमा संकेत के बाद निर्भर अभिव्यक्ति नहीं करता है। यह डेल्टा वितरण के अन्य सन्निकटन के लिए समान है; सन्निकटन के गुण नहीं हो सकते हैं$\delta$ (जैसे समरूपता), लेकिन सीमा होती है।
प्रतीक $$\delta(x\!-\!y)\tag{A}$$ दो तर्कों के साथ $x,y\in\mathbb{R}$डिराक डेल्टा वितरण के लिए एक अनौपचारिक कर्नेल संकेतन है $$u~\in~ D^{\prime}(\mathbb{R}^2)\tag{B}$$ के रूप में परिभाषित
$$u[f]~:=\int_{\mathbb{R}}\!\mathrm{d}z~f(z,z)\tag{C}$$
परीक्षण के लिए $$f~\in~ D(\mathbb{R}^2).\tag{D}$$ यह निम्नानुसार है कि ऊपर वर्णित डिराक डेल्टा सममित है $$ \delta(x\!-\!y)~=~\delta(y\!-\!x), \tag{E}$$cf. ओपी का शीर्षक प्रश्न।
डेल्टा फ़ंक्शन एक वितरण है, जो फ़ंक्शन के एक सेट पर परिभाषित किया गया है। गणितज्ञ आमतौर पर ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग करके इसे व्यक्त करते हैं, जहां डेल्टा फ़ंक्शन ब्रा है$<\delta|$ तथा $$<\delta| f> = \int \delta(x) f(x) dx = f(0)$$
क्या आप निरंतर कार्यों के सेट की बात कर रहे थे, मेरा मानना है कि आपको समरूपता की आवश्यकता नहीं होगी। लेकिन आमतौर पर ऐसा नहीं है। क्वांटम यांत्रिकी में, हम वर्ग पूर्णांक कार्यों के सेट का उपयोग करते हैं; यह एक हल्की आवश्यकता है, जो असंगतता की अनुमति देता है।
अब, यदि आप ऐसे कार्यों पर विचार कर रहे हैं जो शून्य पर बंद हो सकते हैं, तो आपको स्पष्ट रूप से परिभाषित करने की आवश्यकता है कि क्या करना है, सममित डेल्टा वितरण होना चाहिए
$$ <\delta | f > = \frac{f(0^+)+f(0^-)}2 $$
और आपके पास एक और अलग "डेल्टा फ़ंक्शंस" हो सकता है जो निरंतर कार्यों में एक ही काम करता है लेकिन असंतोष के मामले में अलग तरह से काम करता है।
बोनस: एक आयामी क्वांटम यांत्रिकी में, आपके पास "डेल्टा - संभावित बाधाओं की तरह" का एक पूरा सेट होता है, जो कनेक्ट करने के कई तरीकों से परिभाषित होता है $\Psi'(0^+),\Psi(0^+)$ सेवा मेरे $\Psi'(0^-),\Psi(0^-)$। पाठ्यपुस्तकों में त्रुटियों के कारण नामकरण यहां एक बुरा सपना है। प्रत्येक "डेल्टा" या "एकल बिंदु में समर्थित बाधा" को अंतराल में शामिल होने के लिए एक नियम के रूप में देखा जा सकता है$(-\infty, 0)$ तथा $(0, \infty)$।