दो अनंत राशियों के भागफल की सीमा का मूल्यांकन
मैं इस सीमा का मूल्यांकन कैसे कर सकता हूं?
$$\lim_{n\to\infty}\underbrace{\frac{\sum_{k=1}^n \frac 1k}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{2k-1} }}_{=:a_n}$$
वोल्फरामअल्फा द्वारा, सीमा 2 होनी चाहिए लेकिन मैं यह कैसे दिखा सकता हूं? मैं देख रहा हूं कि यह नीरस बढ़ रहा है, इसलिए जब मैं दिखा सकता था$\sup_{n \in \mathbb N} a_n = 2$, यह किया जाएगा। लेकिन मैं थोड़ा फंस गया हूं ...
जवाब
ध्यान दें कि हर के रूप में फिर से लिखा जा सकता है $$\sum_{k=1}^{2n+1} \frac 1k - \frac 12 \sum_{k=1}^{n} \frac 1k$$ इसके बाद यह बहुत आसान हो जाता है: अंश और हर को विभाजित करें $\sum_{k=1}^n \frac 1k$। यह आपको सीमा देता है$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac 12 + \frac{\sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac 1k}{\sum_{k=1}^n \frac 1k}}= 2$$
L'Hopital के नियम का एक असतत संस्करण है, कुछ शर्तों के तहत; इसे आमतौर पर स्टोलज़-सेसरो प्रमेय के रूप में जाना जाता है । यहां, हम समन को एकीकरण के रूप में मानते हैं (और इसके विपरीत, भेदभाव के रूप में अंतर लेते हुए)। कथन आमतौर पर कुछ इस तरह है: यदि अनुक्रम$\{ b_n \}$ सकारात्मक है और $\sum b_n = \infty$ (अर्थात भिन्न), फिर किसी क्रम के लिए $\{ a_n \}$ इस तरह के $\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = L$, अपने पास
$$ \lim_{n\to+\infty} \frac{\sum_{j \le n} a_j}{\sum_{j\le n} b_j} = L. $$
इस का एक बहुत अच्छा परिणाम सीमा तुलना परीक्षण है।
दिए गए उदाहरण के लिए, ले $a_n = 1/n$ तथा $b_n = 1/(2(n+1) - 1) = 1/(2n + 1)$ पाने के लिए $2$ सीमा के रूप में।
सहज व्याख्या:
अनुपात है
$$2\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac 1{k-\frac12}}$$ और बढ़ने के लिए $k$, शब्द $\frac12$कम और कम महत्वपूर्ण हो जाता है। एक ही समय में दोनों श्रृंखला विचलन करते हैं, ताकि प्रारंभिक शर्तें मायने नहीं रखती हैं।
अधिक गंभीर तर्क के द्वारा, आप एकीकरण द्वारा रकमों को संक्षिप्त कर सकते हैं और फॉर्म की सीमा प्राप्त कर सकते हैं $\log n+c$। फिर निचोड़ कर
$$\frac{\log n+c_1}{\frac12\log n+c_2}<2<\frac{\log n+c_3}{\frac12\log n+c_4}.$$
अवधि की तुलना करें, हमारे पास है $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\le\sum_{k=1}^n\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-\frac1{n+\frac12} \end{align} $$ इसी तरह, $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\ge\sum_{k=1}^n\frac1{k+\frac12}\\ &=\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-2 \end{align} $$ इस प्रकार, $$ 2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-2\le\sum_{k=1}^n\frac1k\le2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-\frac1{n+\frac12} $$ और इसीलिए, $$ 2-\frac2{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le\frac{\sum_{k=1}^n\frac1k}{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le2-\frac1{\left(n+\frac12\right)\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}} $$ अब निचोड़ प्रमेय लागू करें।