दो अनंत राशियों के भागफल की सीमा का मूल्यांकन

Aug 15 2020

मैं इस सीमा का मूल्यांकन कैसे कर सकता हूं?

$$\lim_{n\to\infty}\underbrace{\frac{\sum_{k=1}^n \frac 1k}{\sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{2k-1} }}_{=:a_n}$$

वोल्फरामअल्फा द्वारा, सीमा 2 होनी चाहिए लेकिन मैं यह कैसे दिखा सकता हूं? मैं देख रहा हूं कि यह नीरस बढ़ रहा है, इसलिए जब मैं दिखा सकता था$\sup_{n \in \mathbb N} a_n = 2$, यह किया जाएगा। लेकिन मैं थोड़ा फंस गया हूं ...

जवाब

2 AniruddhaDeb Aug 15 2020 at 21:47

ध्यान दें कि हर के रूप में फिर से लिखा जा सकता है $$\sum_{k=1}^{2n+1} \frac 1k - \frac 12 \sum_{k=1}^{n} \frac 1k$$ इसके बाद यह बहुत आसान हो जाता है: अंश और हर को विभाजित करें $\sum_{k=1}^n \frac 1k$। यह आपको सीमा देता है$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\frac 12 + \frac{\sum_{k=n+1}^{2n+1} \frac 1k}{\sum_{k=1}^n \frac 1k}}= 2$$

2 PacoAdajar Aug 15 2020 at 22:41

L'Hopital के नियम का एक असतत संस्करण है, कुछ शर्तों के तहत; इसे आमतौर पर स्टोलज़-सेसरो प्रमेय के रूप में जाना जाता है । यहां, हम समन को एकीकरण के रूप में मानते हैं (और इसके विपरीत, भेदभाव के रूप में अंतर लेते हुए)। कथन आमतौर पर कुछ इस तरह है: यदि अनुक्रम$\{ b_n \}$ सकारात्मक है और $\sum b_n = \infty$ (अर्थात भिन्न), फिर किसी क्रम के लिए $\{ a_n \}$ इस तरह के $\lim_{n\to+\infty} a_n/b_n = L$, अपने पास

$$ \lim_{n\to+\infty} \frac{\sum_{j \le n} a_j}{\sum_{j\le n} b_j} = L. $$

इस का एक बहुत अच्छा परिणाम सीमा तुलना परीक्षण है।

दिए गए उदाहरण के लिए, ले $a_n = 1/n$ तथा $b_n = 1/(2(n+1) - 1) = 1/(2n + 1)$ पाने के लिए $2$ सीमा के रूप में।

2 YvesDaoust Aug 15 2020 at 22:21

सहज व्याख्या:

अनुपात है

$$2\frac{\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1k}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\dfrac 1{k-\frac12}}$$ और बढ़ने के लिए $k$, शब्द $\frac12$कम और कम महत्वपूर्ण हो जाता है। एक ही समय में दोनों श्रृंखला विचलन करते हैं, ताकि प्रारंभिक शर्तें मायने नहीं रखती हैं।


अधिक गंभीर तर्क के द्वारा, आप एकीकरण द्वारा रकमों को संक्षिप्त कर सकते हैं और फॉर्म की सीमा प्राप्त कर सकते हैं $\log n+c$। फिर निचोड़ कर

$$\frac{\log n+c_1}{\frac12\log n+c_2}<2<\frac{\log n+c_3}{\frac12\log n+c_4}.$$

1 robjohn Aug 16 2020 at 06:14

अवधि की तुलना करें, हमारे पास है $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\le\sum_{k=1}^n\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-\frac1{n+\frac12} \end{align} $$ इसी तरह, $$ \begin{align} \sum_{k=1}^n\frac1k &\ge\sum_{k=1}^n\frac1{k+\frac12}\\ &=\sum_{k=2}^{n+1}\frac1{k-\frac12}\\ &=\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{k-\frac12}-2 \end{align} $$ इस प्रकार, $$ 2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-2\le\sum_{k=1}^n\frac1k\le2\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}-\frac1{n+\frac12} $$ और इसीलिए, $$ 2-\frac2{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le\frac{\sum_{k=1}^n\frac1k}{\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}}\le2-\frac1{\left(n+\frac12\right)\sum_{k=1}^{n+1}\frac1{2k-1}} $$ अब निचोड़ प्रमेय लागू करें।