दो गणनीय सेटों के मिलन का प्रमाण गणनीय [बंद] है
मुझे लगता है कि मुझे यह साबित करने के लिए कुछ सुराग मिले हैं कि दो असंगत काउंटेबल सेटों के लिए कैसे साबित किया जाए, लेकिन मुझे नहीं पता कि दो साधारण काउंटेबल सेटों के साथ कैसे व्यवहार किया जाए। मैं कुछ सलाह माँगना चाहूँगा। धन्यवाद। एक कठोर प्रमाण देना भी अच्छा होगा।
जवाब
अच्छी समस्या है। यह समस्या कई समस्याओं को हल करने की नींव रखती है, इसलिए मैं एक बहुत विस्तृत समाधान लिखूंगा।
शुरुआत करते हैं सहमत होने के साथ।
परिभाषा 1: हम कहते हैं कि सेट$A$ सेट के रूप में एक ही कार्डिनैलिटी है $B$ मौजूद है $f: A \to B$यह एक-पर-एक है। इस मामले में, हम लिखते हैं$A\sim B$।
परिभाषा 2: हम कहते हैं कि$A$ काउंटेबल है अगर $\mathbb{N}\sim A$। एक अनंत सेट जो गणनीय नहीं है, एक बेशुमार सेट कहलाता है।
उदाहरण के लिए, हम देख सकते हैं कि:
सेट $\mathbb{Q}$ गणनीय है, लेकिन सेट है $\mathbb{R}$ बेशुमार है।
आपकी समस्या, हम इस प्रकार लिख सकते हैं:
चलो $A$ तथा $B$गिनने योग्य सेट। साबित करो$A\cup B$ गणनीय है।
प्रमाण: परिभाषा से$\color{blue}{(2)}$, हमें यह दिखाने की जरूरत है $\mathbb{N}\sim A\cup B$, इसलिए परिभाषा से $\color{blue}{(1)}$ हमें यह साबित करने की जरूरत है $\color{blue}{\text{there exists}}$ एक समारोह $f: \mathbb{N}\to A\cup B$ और कि $f$ एक समारोह है $\color{blue}{\text{one-to-one}}$ तथा $\color{blue}{\text{onto}}$।
गणित में यह महत्वपूर्ण है, जैसा कि मैंने ऊपर लिखा है कि जिन परिणामों का आप उपयोग करना चाहते हैं, उनके संदर्भ में आपको क्या प्रमाण देना चाहिए। अब, समस्या की परिकल्पनाओं पर वापस जाते हैं।
चूंकि वह $A$ गणनीय सेट है, इसलिए $\color{blue}{\text{there exists}}$ एक समारोह $g: \mathbb{N}\to A$ ऐसा है कि $g$ एक फ़ंक्शन है $\color{blue}{\text{one-to-one}}$ तथा $\color{blue}{\text{onto}}$। ऐसे ही, तब से$B$ गणनीय सेट है, इसलिए $\color{blue}{\text{there exists}}$ एक समारोह $h: \mathbb{N}\to B$ ऐसा है कि $h$ एक समारोह है $\color{blue}{\text{one-to-one}}$ तथा $\color{blue}{\text{onto}}$।
गणित में कुछ सामान्य है पहले से ही सिद्ध प्रमेयों के प्रमाणों का उपयोग करने की कोशिश करना, जैसा कि नए प्रमाण बनाने के लिए मॉडल। यदि आपने कभी यह साबित किया है कि न्यूरल्स काउंटेबल हैं, तो आपको याद होगा कि "विषम और सम संख्याओं को अलग करें और फिर पत्राचार नियम (एक फंक्शन) द्वारा उन्हें मिलाएं"।
चलो, $$f: \mathbb{N}\to A\cup B$$ द्वारा परिभाषित $$f(x):=\left\{\begin{aligned}h\left( \frac{n}{2}\right), \quad \text{n is even}\\ g\left( \frac{n+1}{2}\right), \quad \text{n is odd} \end{aligned} \right.$$
यह स्पष्ट है कि $f$ एक समारोह है $\color{blue}{\text{one-to-one}}$ तथा $\color{blue}{\text{onto}}$।
अब, यह आपके लिए काम करने का समय है। आपको साबित करना होगा कि फ़ंक्शन$f$ सच है $\color{blue}{\text{one-to-one}}$ तथा $\color{blue}{\text{onto}}$।