दोहरे द्रव्यमान-वसंत प्रणालियों में अतिरिक्त ऊर्जा
नीचे एक दोहरी द्रव्यमान वसंत प्रणाली है जिसे एक चिकनी सतह (कोई घर्षण नहीं) पर रखा गया है, आइए हम वसंत को स्थिर मान लें $k$ इस मामले में।
अब अगर हम मूल्य के वसंत में एक छोटा विस्तार बनाते हैं $x_o$दो द्रव्यमान एम्प्लिट्यूड के साथ व्यक्तिगत रूप से सरल हार्मोनिक गति (SHM) का प्रदर्शन करेंगे $A_1$ तथा $A_2$ क्रमशः ऐसा $A_1$ + $A_2$ = $x_o$। अब उक्त प्रणाली की कुल ऊर्जा द्वारा दी गई है$\frac{1}{2}kx_o^2$ और उनके व्यक्तिगत दोलनों की ऊर्जा होगी $\frac{1}{2}kA_1^2$ तथा $\frac{1}{2}kA_2^2$। परंतु$\frac{1}{2}kA_1^2$ + $\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$। तो इस अतिरिक्त ऊर्जा का उपयोग किस लिए किया जा रहा है? स्पष्ट रूप से इसका उपयोग SHM के लिए नहीं किया जा रहा है क्योंकि यह जनता के व्यक्तिगत दोलनों की ऊर्जा के अंतर्गत नहीं आता है। इसलिए मैं यह बताने में असमर्थ हूं कि इसका उपयोग किस लिए किया जा रहा है!
मेरे पास एक और सवाल भी है। उनकी व्यक्तिगत अधिकतम गतिज ऊर्जा निम्नानुसार हैं:$\frac{1}{2}mv_1^2$ + $\frac{1}{2}Mv_2^2$ $=$ $\frac{1}{2}kx_o^2$, कहां है $v_1$ तथा $v_2$अलग-अलग जनता के अधिकतम वेग हैं। लेकिन SHM करने वाले शरीर की अधिकतम गतिज ऊर्जा उसकी अधिकतम संभावित ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए! इसलिए$\frac{1}{2}kA_1^2$ के बराबर होना चाहिए $\frac{1}{2}mv_1^2$ और इसी तरह $\frac{1}{2}kA_2^2$ के बराबर होना चाहिए $\frac{1}{2}Mv_2^2$। लेकिन यह हमारे समीकरण के खिलाफ होगा$\frac{1}{2}kA_1^2$ + $\frac{1}{2}kA_2^2$ $\neq$ $\frac{1}{2}kx_o^2$! इसलिए मैं काफी उलझन में हूँ कि यहाँ क्या हो रहा है!
तो क्या कोई मुझे ये समझा सकता है?
जवाब
आपको एक एकल SHM प्रणाली के रूप में दोनों द्रव्यमानों का एक साथ विश्लेषण करना होगा - आप तब दो स्वतंत्र SHM घटकों में विभाजित नहीं हो सकते।
मान लीजिए कि हम अपनी प्राकृतिक लंबाई पर वसंत के साथ शुरू करते हैं और द्रव्यमान को स्थानांतरित करते हैं $m$ की दूरी पर बाईं ओर $x_1$ और बड़े पैमाने पर $M$ दूर से ही सही $x_2$। बल जो दोनों द्रव्यमानों पर बसता है, अब है$k(x_1+x_2)$। इसलिए अगर हम द्रव्यमान को स्थानांतरित करते हैं$m$ से $x_1=0$ सेवा मेरे $x_1=A_1$ और हम बड़े पैमाने पर चलते हैं $M$ से $x_2=0$ सेवा मेरे $x_2=A_2$ फिर वसंत में संग्रहीत कुल ऊर्जा होती है
$\int_0^{A_1+A_2} ky \space dy$
कहां है $y=x_1+x_2$, तथा
$ \int_0^{A_1+A_2} ky \space dy = \frac 1 2 k (A_1+A_2)^2 = \frac 1 2 k x_0^2$
इसलिए कोई "अतिरिक्त ऊर्जा" नहीं है।
जब हम द्रव्यमान को द्रव्यमान की गति का समीकरण जारी करते हैं $m$ है
$m \frac {d^2x_1}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$
और जन के लिए $M$ यह है
$M \frac {d^2x_2}{dt^2} = -k(x_1+x_2)$
इन्हें जोड़कर हम प्राप्त करते हैं
$\frac {d^2y}{dt^2} = -k'y$
कहां है $k' = k(\frac 1 m + \frac 1 M)$, तथा $y(0) = x_0$, $\frac{dy}{dt}(0) = 0$। इसलिए
$y = x_0 \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow \frac {d^2x_1}{dt^2} = -\frac k m y = -\frac {kx_0}{m} \cos (\sqrt{k'}t) \\ \Rightarrow v_1 = \frac {dx_1}{dt} = -\frac {kx_0}{m\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$
इसी तरह
$v_2 = \frac {dx_2}{dt} = -\frac {kx_0}{M\sqrt{k'}} \sin (\sqrt{k'}t)$
जब वसंत अपनी प्राकृतिक लंबाई पर लौटता है, $y=0$ तथा $\cos \sqrt{k'}t = 0$ तोह फिर $\sin \sqrt{k'}t = 1$। तो तंत्र की गतिज ऊर्जा है
$\frac 1 2 m v_1^2 + \frac 1 2 M v_2^2 = \frac {k^2 x_0^2}{2k'} \left( \frac 1 m + \frac 1 M \right) = \frac {kk'x_0^2}{2k'} = \frac 1 2 k x_0^2$
दूसरे शब्दों में, वसंत में संग्रहीत सभी संभावित ऊर्जा को उम्मीद के मुताबिक गतिज ऊर्जा में बदल दिया गया है।
चलो $x$ द्रव्यमान की अपनी संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापन का परिमाण हो $m$ तथा $X$ द्रव्यमान की अपनी संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापन का परिमाण हो $M$।
प्रणाली के लिए गति का संरक्षण आवश्यक है $m\dot x = M\dot X \Rightarrow mx=MX$।
इस प्रणाली के लिए दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति द्वारा दी गई है $\omega^2 = \dfrac{k(m+M)}{mM}$।
प्रणाली की अधिकतम गतिज ऊर्जा है $\dfrac 12 m \omega^2 x^2 +\dfrac 12 m \omega^2 X^2$।
के मूल्य में लगाना $\omega^2$ और बाहर गुणा करने से गतिज ऊर्जा मिलती है
$\dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k \left(\dfrac mM \right)x\, x +\dfrac 12 k \left(\dfrac Mm \right)X\, X+\dfrac 12 kX^2 = \dfrac 12 kx^2+\dfrac 12 k\, X\, x +\dfrac 12 k\, x\, X+\dfrac 12 kX^2=\dfrac 12 k(x+X)^2 = \text{elastic potential energy at the start}$।
यह दिखाने के लिए अधिक सामान्य विश्लेषण करना संभव है कि सिस्टम की कुल ऊर्जा स्थिर है।