द्विघात पारस्परिकता का उपयोग कर एक बहुपद की जड़ों को खोजना

Question

बहुपद करता है $X^2− X + 19$ में एक जड़ है $\mathbb Z/61\mathbb Z$? मैं इस समस्या के बारे में जाने के बारे में अनिश्चित हूं लेकिन मैंने जिस तरह से नीचे की समस्या में इन समस्याओं के बारे में संपर्क किया है, उसकी रूपरेखा तैयार की है।

द्विघात करता है $X^2 -59$ में एक जड़ है $\mathbb Z/61\mathbb Z$?

मैंने अब तक जो भी किया है वह खुद से पूछ रहा हूं कि क्या $59$एक द्विघात अवशेष है। दूसरे शब्दों में क्या है$59/61$? पारस्परिकता से हमारे पास है$59/61 = 61/51 = 10/51$ जबसे $61 ≡ 10\bmod51$। $10$ प्रधान नहीं है इसलिए हम इसे लागू करेंगे $(2/51)*(5/51).$ परंतु $2/51$ है $-1$ जबसे $3 ≡ 51\bmod8$। इसलिए हम इसे फिर से लिख सकते हैं$-1 * (5/51)$, और पारस्परिकता से $5/51 = 51/5 = 1/5$ जबसे $1 ≡ 51\bmod5$। इसलिए$-1*(5/51) = - (1/5) = -1 (1) = -1$, इसलिए $x^2 - 59$ जड़ नहीं है।

Answer 1

$$x^2-x+19\equiv x^2-x-42=(x+6)(x-7).$$ क्या आप इसे अब समाप्त कर सकते हैं?

Answer 2

चौक को पूरा करें।

$X^2-X+19\equiv0\bmod61\iff 4X^2-4X+76\equiv0\bmod61$

$\iff (2X-1)^2\equiv-75\equiv47\equiv169=13^2\bmod61$

$2X-1\equiv\pm13\bmod61$

$2X\equiv 14$ या $-12\bmod 61$

$X\equiv7$ या $-6\bmod 61$

Answer 3

चतुष्कोण को हल करने का सामान्य तरीका वर्ग को पूरा करना है। यदि आपके पास है$ax^2+bx+c \equiv 0 \pmod{p}$ फिर वर्ग को पूरा करना आपको देगा $y^2\equiv d \pmod{p},$ कहाँ पे $y = 2ax+b$ तथा $d=b^2-4ac.$

अच्छा सा वह है $y$ मूल बाएं हाथ की ओर का व्युत्पन्न है और $d$द्विघात का सामान्य विभेदक है। तो आपकी समस्या के लिए:

$y = 2x+1$ तथा $d=1^2-4\cdot 19 = -75$।

तो अगर $-75$ एक द्विघात अवशेष है, जिसे आप हल कर सकते हैं $y$ और फिर बदले में हल करें $x$।