एक 2 चर अभिन्न अभिकलन - एकीकरण के क्रम स्विचन

Aug 18 2020

मुझे यह अभिन्न गणना करनी है:

$$\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^{1} e^{\frac{y}{x}} dx$$

क्योंकि हमने गणना करना नहीं सीखा है $\int e^{a}{x} dx$ (क्योंकि इसमें गामा फ़ंक्शन आदि के साथ कुछ है ..) यह मुझे केवल एक विकल्प के बारे में सोचता है और फ्लिप करना है $dx \Leftrightarrow dy$

$\sqrt{y} = x \Rightarrow y = x^2$

और इस तरह $$ \int_0^1 dx \int_{x^2}^1 e^{\frac{y}{x}}dy = \int_0^1 dx (\frac{1}{x}e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x}e^x)$$

जो फिर से मुझे इस गामा समारोह में ले जाता है .. ()$\Gamma$...) और हम नहीं जानते कि इसके साथ कैसे काम करना है (हमारे पाठ्यक्रम में नहीं)

किसी भी सहायता की सराहना की जाएगी!! धन्यवाद!

जवाब

3 MarkViola Aug 18 2020 at 19:33

एकीकरण के क्रम को बदलने के लिए आप सही थे।

ध्यान दें कि एकीकरण का क्षेत्र किस क्षेत्र से फैला है $\sqrt y\le x\le 1$ साथ में $y\in [0,1]$। यह इस क्षेत्र के रूप में एक ही क्षेत्र है$0\le y\le x^2$ साथ में $x\in [0,1]$। इसलिए, हमारे पास है

$$\begin{align} \int_0^1\int_{\sqrt y}^1 e^{y/x}\,dx\,dy&=\int_0^1\int_0^{x^2} e^{y/x}\,dy\,dx\\\\ &=\int_0^1 \left(xe^x-x\right)\,dx \end{align}$$

और अब आप इसे लपेट सकते हैं।