एक 2 चर अभिन्न अभिकलन - एकीकरण के क्रम स्विचन
मुझे यह अभिन्न गणना करनी है:
$$\int_0^1 dy \int_{\sqrt{y}}^{1} e^{\frac{y}{x}} dx$$
क्योंकि हमने गणना करना नहीं सीखा है $\int e^{a}{x} dx$ (क्योंकि इसमें गामा फ़ंक्शन आदि के साथ कुछ है ..) यह मुझे केवल एक विकल्प के बारे में सोचता है और फ्लिप करना है $dx \Leftrightarrow dy$
$\sqrt{y} = x \Rightarrow y = x^2$
और इस तरह $$ \int_0^1 dx \int_{x^2}^1 e^{\frac{y}{x}}dy = \int_0^1 dx (\frac{1}{x}e^{\frac{1}{x}} - \frac{1}{x}e^x)$$
जो फिर से मुझे इस गामा समारोह में ले जाता है .. ()$\Gamma$...) और हम नहीं जानते कि इसके साथ कैसे काम करना है (हमारे पाठ्यक्रम में नहीं)
किसी भी सहायता की सराहना की जाएगी!! धन्यवाद!
जवाब
एकीकरण के क्रम को बदलने के लिए आप सही थे।
ध्यान दें कि एकीकरण का क्षेत्र किस क्षेत्र से फैला है $\sqrt y\le x\le 1$ साथ में $y\in [0,1]$। यह इस क्षेत्र के रूप में एक ही क्षेत्र है$0\le y\le x^2$ साथ में $x\in [0,1]$। इसलिए, हमारे पास है
$$\begin{align} \int_0^1\int_{\sqrt y}^1 e^{y/x}\,dx\,dy&=\int_0^1\int_0^{x^2} e^{y/x}\,dy\,dx\\\\ &=\int_0^1 \left(xe^x-x\right)\,dx \end{align}$$
और अब आप इसे लपेट सकते हैं।