एक अनंत-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष के दोहरे के एक उप-वर्ग के द्वि-संचयक

Question

लश्कर $V$एक अनंत-आयामी वेक्टर स्पेस हो और$V^*$इसकी दोहरी।
एक रैखिक उप-स्थान के लिए$W\subset V$ परिभाषित $W^ \circ\subset V^*$ रैखिक रूपों के उप-भाग के रूप में $V$ गायब हो रहा है $W$।
Dally, के लिए$\Gamma\subset V^*$ परिभाषित $\Gamma^\diamond \subset V$ वैक्टर के सेट के रूप में $v\in V$ ऐसा है कि $\gamma(v)=0$ सभी रैखिक रूपों के लिए $\gamma\in \Gamma$।
यह थोड़ा आश्चर्य की बात है लेकिन यह दिखाना भी मुश्किल नहीं है कि हमारे पास सभी उप-स्थानों के लिए है$W\subset V$ समानता $(W^\circ) ^\diamond=W$।
लेकिन क्या यह सच है कि सभी के लिए$\Gamma\subset V^*$ अपने पास $(\Gamma^\diamond)^\circ=\Gamma$?
और क्या एक संदर्भ (लेख, पुस्तक, व्याख्यान नोट्स, ...) है जहां इस समस्या का उल्लेख किया गया है?

Answer 1

नहीं न, $(\Gamma^\diamond)^\circ$ हमेशा बराबर नहीं की जरूरत है $\Gamma$। लश्कर$\mathcal B$ के लिए एक आधार हो $V$, और जाने $\Gamma$ 'दोहरी' सेट की अवधि हो $\{e_b \mathrel: b \in \mathcal B\}$, तोह फिर $e_b(c)$है इवर्सन ब्रैकेट $[b = c]$ सभी के लिए $b, c \in \mathcal B$। फिर$\Gamma^\diamond$ है $0$, तोह फिर $(\Gamma^\diamond)^\circ$ सभी का है $V^*$; लेकिन अ$\Gamma$ स्वयं में शामिल नहीं है, उदाहरण के लिए, तत्व $\sum_{b \in \mathcal B} e_b$ का $V^*$।

Answer 2

समानता सामान्य रूप से झूठी है।
यहाँ एक प्रतिधारण है: एक आधार तय करें$v_i, i\in I$ का $V$ और समन्वित रैखिक रूपों के सेट पर विचार करें $v^*_i, i\in I$।
इन रूपों रैखिक स्वतंत्र हैं, लेकिन एक आधार के रूप में कभी नहीं के बाद से$V$अनंत-आयामी है।
तो इन रूपों को एक आधार पर पूरा करें$(v^*_j), j\in J$ साथ से $J\setminus I\neq\emptyset$।
का चयन करें$l\in J\setminus I$ और रखें $J'=J\setminus \{l\}$
यदि आप परिभाषित करते हैं $\Gamma \subset V^*$ वेक्टर जनित अंतरिक्ष के रूप में $v_j^*, j\in J'$, तब फिर $\Gamma^\diamond =0$ (पहले से ही का उप-समूह $V^*$ द्वारा उत्पन्न $v_i^*, i\in I$ में सभी वैक्टर को मार डालो $V$) ताकि $\Gamma\subsetneq (\Gamma^\diamond)^\circ=\{0\}^\circ=V^*$ आवश्यक प्रतिधारण की उपज।