एक अनंत लंबे सिलेंडर का मतलब वक्रता क्या है?

Aug 18 2020

क्या कोई मुझे यह समझने में मदद कर सकता है कि मैं त्रिज्या के एक लंबे समय तक सिलेंडर के औसत वक्रता की गणना कैसे कर सकता हूं $R$? मुझे मतलब वक्रता की परिभाषा के रूप में पता है

$H = \frac{1}{2}(\kappa_1 + \kappa_2)$

कहां है $\kappa_i$ है $i$वें प्रधान वक्रता। चूंकि सिलेंडर असीम रूप से लंबा है, मुझे लगता है$\kappa_2 = 0$(अक्ष के साथ)। क्या कोई इसकी पुष्टि कर सकता है?

फिर त्रिज्या के साथ एक अनंत लंबे सिलेंडर का मतलब वक्रता $R$ बस होगा

$H = \frac{1}{2R}$

आपके सहयोग के लिए धन्यवाद!

जवाब

2 JeppeStigNielsen Aug 18 2020 at 14:06

आपका रिजल्ट सही है।

बेलनाकार सतह पर एक बिंदु चुनें। आपको खुद को यह समझाना होगा कि एक प्रमुख दिशा सिलेंडर की धुरी के लिए लंबवत है (लेकिन सतह के आपके बिंदु से शुरू)। इस दिशा के साथ, सतह त्रिज्या के साथ एक चक्र की तरह दिखती है$R$, तो इस दिशा के लिए प्रमुख वक्रता है $\kappa_1=\frac1R$। अन्य प्रमुख दिशा सिलेंडर अक्ष के समानांतर है, और इस दिशा के साथ, सतह एक सीधी रेखा की तरह दिखती है (आपके बिंदु के पास स्थानीय रूप से)$\kappa_2=0$। तो सूत्र से$H=\frac12 (\kappa_1+\kappa_2)$ आप का मतलब वक्रता आप उल्लेख मिलता है।

जैसा कि टोनीक कहता है, यह आपके द्वारा चुने गए किसी भी बिंदु के लिए समान है। तो अगर तुम मानते हो$H$ एक फ़ंक्शन के रूप में, सतह पर प्रत्येक बिंदु को एक वास्तविक संख्या में मैप करना, फिर $H$ बेलनाकार सतह के लिए स्थिर है।

जैसा कि हम देखते हैं, मतलब वक्रता एक स्थानीय संपत्ति है, इसलिए यह कोई फर्क नहीं पड़ता कि सिलेंडर अनंत रूप से लंबा है या नहीं; जब तक उस बिंदु के आसपास एक पड़ोस होता है, जिस पर आप विचार करते हैं, जहां सतह एक सिलेंडर है, तो उस बिंदु पर वक्रता होती है$\frac1{2R}$