एक आयताकार क्षेत्र पर वैश्विक अधिकतम / न्यूनतम खोजें
इस समारोह के सभी वैश्विक अधिकतम / न्यूनतम अंक प्राप्त करें:
$$f(x,y) = (x-3)^2 + (y-4)^2 + 100$$
अनुलंबों के साथ एक आयत में:
$$(-2,-1), (3,-1), (-2,1) , (3,1)$$
मैंने इस आयत को खींचने की कोशिश की, और मुझे मिल गया:
$$ [-2,3] \times [-1, 1] $$
मैंने आंशिक डेरिवेटिव की गणना की:
$f_x = 2(x-3) = 0 \Rightarrow x = 3$
$f_y = 2(y-4) = 0 \Rightarrow y = 4$
और इसलिए मैं समझ गया कि एकमात्र बिंदु है $(3,4)$
जो आयत पर नहीं है ... इसलिए कोई वैश्विक अधिकतम / मिनट अंक नहीं हैं? मुझे लगता है कि यह एक गलत दृष्टिकोण है, मैं आपकी मदद की सराहना करूंगा!
धन्यवाद!
जवाब
अंक ढूँढना कहाँ $f_x = 0$ तथा $f_y = 0$आप सभी को इस क्षेत्र के भीतरी इलाकों में स्थानीय विलुप्त होने का मौका देता है$[-2, 3] \times [-1, 1]$, यानी खुली आयत $(-2, 3) \times (-1, 1)$। आपने जो दिखाया है, वह यह है कि इंटीरियर में कोई लोकल एक्सट्रैमा नहीं है। हालाँकि, आयत की सीमा पर अभी भी अधिकतम / मिनीमा हो सकता है। (वास्तव में, क्योंकि$[-2, 3] \times [-1, 1]$ कॉम्पैक्ट है, विश्लेषण हमें बताता है कि हम एक वैश्विक अधिकतम और न्यूनतम पा सकते हैं।)
इन वैश्विक मैक्सिमा और मिनीमा को खोजने के लिए, आपको किन मूल्यों को देखना होगा $f$ आयत की सीमा पर ले जाता है $[-2, 3] \times [-1, 1]$। यह सबसे छोटा / सबसे बड़ा कब है?
उदाहरण के लिए, हम पहले आयत के निचले किनारे को देख सकते हैं। यह बिंदुओं का समूह है$\{ (a, -1): a \in [-2, 3] \}$। इस क्षेत्र में हमारा कार्य$f$ मान लेता है
$$f(x, -1) = (x- 3)^2 + (-1 - 4)^2 + 100 = x^2 - 6x^2 + 134$$
जबसे $y$ हमेशा है $-1$आयत के निचले किनारे पर। यहाँ से, आप एकल-वैरिएबल कैलकुलस का उपयोग कर सकते हैं$x$ में $[-2, 3]$ जिसके लिए $f$ न्यूनतम / अधिकतम है।
फिर, अन्य पक्षों के लिए एक ही काम करें।
(संपादित करें: जैसे आपको अपने आंतरिक भाग के अलावा आयत के किनारों की जांच करनी है, आपको स्वयं पक्षों के अलावा पक्षों के "किनारों" (यानी चारों कोनों) को भी जांचना होगा! दूसरे शब्दों में, डॉन ' टी भूल जाते हैं कि क्या चार कोनों में से प्रत्येक पर एफ की गणना करें और देखें कि क्या यह एक चरम बिंदु देता है।)
तथ्य यह है कि जो बिंदु आपको मिला है वह आयत में नहीं है, इसका मतलब है कि यदि समग्र कार्य को देखें, तो अधिकतम / न्यूनतम बिंदु आयत में नहीं है। हालांकि, हम फ़ंक्शन के एक छोटे से क्षेत्र को देख रहे हैं - वह जो आयत से घिरा हुआ है।
यदि आप उस आयत से बंधे किसी फ़ंक्शन के ग्राफ की कल्पना कर सकते हैं, तो आप देखेंगे कि यह निश्चित रूप से सीमा में कहीं अधिकतम और न्यूनतम है। एकल चर कलन में, यह चरम मूल्य प्रमेय द्वारा समझाया गया है।
तो, आपको चार पंक्तियों के अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं का पता लगाना चाहिए जो फलन के चौराहे से उत्पन्न होते हैं और विमान y = 1, y = -1, x = -2, और x = 3. यह विमान विस्तार हैं आयत के किनारे।
क्या आपके पास और प्रश्न होने चाहिए, मुझे मदद करने में खुशी हो रही है।
आप शास्त्रीय मामले में हैं, जहां सीमा पर एक्स्ट्रामा स्थित हैं, इसलिए, यह वास्तव में आंशिक व्युत्पन्न को खत्म करने के लिए कोई फायदा नहीं है।
जियोमेट्रिकली सोचें: आपकी समस्या एक पैराबोलॉइड के प्रतिच्छेदन से संबंधित है $P$ किसका शीर्षासन है $(3,4,100)$ और अक्ष द्वारा परिभाषित $x=3,y=4$ और एक बॉक्स $B$ ऑक्सी प्लेन वाला चौराहा वह है जिसे आपने पाया है।
टिप्पणी: चौराहा $I=B \cap P$ परवलयिक आर्क्स का एक संघ है।
I का निम्नतम बिंदु ऊर्ध्वाधर अक्ष के साथ होगा $(x=3, y=1)$(जो P की धुरी के सबसे नजदीक है)। इन मानों को प्राप्त करने के लिए समीकरण में प्लग करें$z_{min}=109$।
I का उच्चतम बिंदु बॉक्स के ऊर्ध्वाधर किनारे पर प्राप्त किया जाएगा जो P के अक्ष से सबसे दूर है, अर्थात, निर्देशांक के साथ $(x=-2,y=-1)$। एक बार फिर, इन मूल्यों को प्राप्त करने के लिए समीकरण में प्लग करें$z_{max}=150$।