एक बंद उत्तल सेट में लाइनें क्यों होती हैं यदि और केवल इसमें कोई चरम बिंदु नहीं है? [डुप्लिकेट]
चलो $A\subset\mathbb R^n$एक बंद और उत्तल हो। एक बिंदु$x\in A$इसे एक चरम बिंदु कहा जाता है यदि इसे बिंदुओं के एक nontrivial उत्तल संयोजन के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है$A$। चलो$\operatorname{ext}A$ के चरम बिंदुओं के सेट को निरूपित करें $A$।
मैं अवलोकन पर अड़ गया हूं कि "$A$इसमें लाइनें होती हैं अगर और केवल अगर इसमें कोई चरम बिंदु नहीं है "(पृष्ठ 37, टिप्पणी 1, हग और वेइल (2010) में , पीडीएफ यहां पाया जा सकता है )।
मैं देख सकता हूँ कि अगर $A$ एक पंक्ति है $L$, तो इसके चरम बिंदु नहीं हो सकते। वास्तव में, किसी भी दिया$x\notin L$, तो (बंद) उत्तल बंद का $\{x\}\cup L$ के बीच सब कुछ बराबर होना चाहिए $L$ और लाइन के समानांतर $L$ अन्तर्विभाजक $x$, और ऐसे सेट में कोई चरम बिंदु नहीं है। ज्यामितीय रूप से, निम्नलिखित निर्माण के लिए यह राशि:
$\qquad\qquad\qquad$
हालांकि, मुझे यकीन नहीं है कि दूसरी दिशा के लिए कैसे आगे बढ़ना है। मैं कैसे साबित करूं कि अगर$A$ कोई रेखाएँ नहीं होती हैं, तो कम से कम एक चरम बिंदु होना चाहिए (या समतुल्य, कि चरम बिंदुओं की अनुपस्थिति का अर्थ है कि कम से कम एक पंक्ति में समाहित है) $A$)?
जवाब
$A$निश्चित रूप से गैर-रिक्त माना जाना चाहिए। फिर हम आयाम पर प्रेरण का उपयोग कर सकते हैं।
में $\mathbb{R}^1$, एक गैर-रिक्त बंद उत्तल सेट $A$ जिसमें कोई भी रेखा नहीं है, रूपों में से एक है $(-\infty, a]$, $[a, +\infty)$, या $[a,b]$ (साथ से $a \leqslant b$), और इन सभी के लिए $a$ का एक चरम बिंदु है $A$।
प्रेरण कदम के लिए, चलो $x \in A$ और एक मनमानी लाइन पर विचार करें $L$ के माध्यम से गुजरते हुए $x$। जबसे$L \not\subset A$ एक बिंदु है $y \in L\setminus A$। चलो$s = \max \{ t \in [0,1] : x + t(y-x) \in A\}$ तथा $z = x + s(y-x)$। फिर इसके लिए एक सपोर्टिंग हाइपरप्लेन है$A$ के माध्यम से गुजरते हुए $z$। इसके द्वारा दिया गया है$$ H = \{\xi : \langle \xi, \eta\rangle = \langle z, \eta\rangle\}$$ कुछ के लिए $\eta \in \mathbb{R}^n$ साथ से $\langle \eta, \eta\rangle = 1$। हम व्यापकता के नुकसान के बिना मान सकते हैं$\langle \xi, \eta\rangle \leqslant \langle z, \eta\rangle$ सबके लिए $\xi \in A$।
अभी $A_H = A \cap H$ हाइपरप्लेन में एक बंद उत्तल सेट है $H$ (जिसे हम पहचान सकते हैं $\mathbb{R}^{n-1}$) जिसमें कोई रेखा नहीं होती है और यह (के लिए) गैर-रिक्त है $z \in A_H$) है। प्रेरण परिकल्पना द्वारा,$A_H$अत्यधिक अंक हैं। लेकिन का एक चरम बिंदु$A_H$ का एक चरम बिंदु भी है $A$, अगर एक बिंदु के लिए $p$ का $A_H$ का प्रतिनिधित्व दो अंकों के उत्तल संयोजन के रूप में किया जाता है $A$, तो इन दो बिंदुओं में दोनों झूठ होना चाहिए $A_H$। इस प्रकार$A$ अत्यधिक अंक हैं।
यहाँ अन्य उत्तर की एक मामूली रिकॉर्डिंग है ।
मैं साबित करना चाहता हूं कि एक बंद, उत्तल, गैर-रिक्त $A\subset\mathbb R^n$ जिसमें कोई रेखा नहीं होती है, हमेशा कम से कम चरम बिंदु होते हैं।
द $\mathbb R^1$ मामला तुच्छ है: एकमात्र संभव $A$ फार्म के सीमित बंद अंतराल या अनंत खंड हैं $[a,\infty)$ तथा $(-\infty,a]$। इसलिए, हम मान लेते हैं कि कथन सही है$A\subset\mathbb R^{n-1}$।
चलो $x\in A$ एक मनमाना बिंदु हो, और जाने दो $L$ कुछ रेखा से होकर गुजरना $x$। इस प्रकार$x\in L$, और परिकल्पना द्वारा $L\not\subset A$। फिर कुछ होगा$y\in L\setminus A$। तो चलो$z\in L\cap \operatorname{conv}(\{x,y\})$ की सीमा पर एक तत्व हो $A$, जाने दो $H$ के लिए सहायक हवाई जहाज हो $A$ के माध्यम से गुजरते हुए $z$, और सेट पर विचार करें $A_H\equiv A\cap H$। इसमें इस निर्माण का प्रतिनिधित्व है$\mathbb R^2$:
इस साधारण मामले में, $H$ एक पंक्ति होनी चाहिए और इस प्रकार $A_H\subset\mathbb R^1$ इंडक्शन परिकल्पना (इस विशेष मामले में) के अनुसार एक चरम बिंदु होता है $A_H=\{z\}$) है। आम तौर पर,$A_H$ बंद हो जाएगा, उत्तल, गैर-रिक्त सबसेट $\mathbb R^{n-1}$, और इस तरह चरम बिंदु होते हैं।
अब यह केवल साबित करना है कि चरम बिंदु $A_H$ के लिए भी एक चरम बिंदु है $A$। दूसरे शब्दों में, हमें यह साबित करना चाहिए कि यदि$p\in A_H$ तब फिर $p\notin \operatorname{conv}(A\setminus A_H)$। उद्देश्य के लिए, हम याद करते हैं$A_H$ के बीच चौराहे के रूप में परिभाषित किया गया है $A$ और एक हाइपरप्लेन, जिसका अर्थ है कि कुछ है $\eta\in\mathbb R^n$ तथा $\alpha\in\mathbb R$ इस तरह, परिभाषित करना $f(\xi)\equiv \langle \eta,\xi\rangle$, अपने पास $f(\xi)\le \alpha$ सबके लिए $\xi\in A$, तथा $f(\xi)=\alpha$ सबके लिए $\xi\in A_H$।
लेकिन तब, यदि $p\in A_H$ के तत्वों का उत्तल संयोजन था $A$, $p=\sum_k \lambda_k a_k$ साथ से $a_k\in A, \sum_k\lambda_k=1, \lambda_k\ge0$, तब फिर $$\sum_k \lambda_k f(a_k) = f(p)= \alpha,$$ जो केवल तभी संभव है $f(a_k)=\alpha$ सबके लिए $k$, अर्थात यदि$a_k\in A_H$।