एक बढ़ते हुए अनुक्रम के लगातार शब्दों के बीच अंतर, सकारात्मक रूप से कई पूर्णांक से बने पूर्णांक से मिलकर बनता है

Question

मान लो कि $\{x_n\}$ एक बढ़ता हुआ क्रम है जिसके तत्व धनात्मक पूर्णांक हैं जो सूक्ष्म रूप से कई प्राइमों से बने होते हैं $p_1, \dots, p_s$। मैं निम्नलिखित सीमा को सत्यापित करना चाहता हूं$$ \lim_{n\to\infty}x_{n+1}-x_{n}=\infty. $$ मैंने एक परिणाम पढ़ा है जो कि लगातार शर्तों के बीच अंतर के लिए एक कम बाध्य देता है $\{x_n\}$साहित्य में। इस परिणाम का तात्पर्य यह है कि लगातार शब्दों के बीच का अंतर अलग हो जाता है। हालांकि, क्या मैं प्राथमिक रूप से दिखा सकता हूं कि ऊपर की सीमा अनंत है?

Answer 1

Mathoverflow.net पर फेलिप वोलोच का यह उत्तर प्रासंगिक है:

हां, यह सच है कि इस तरह के समीकरण कुल्हाड़ी + द्वारा = सी, जहां ए, बी, सी गैर-शून्य और निश्चित हैं और x, y को एक सीमित सेट में केवल प्रमुख कारक रखने की अनुमति है, में केवल कई समाधान हैं। यह घटता पर अभिन्न बिंदुओं पर सीगल के प्रमेय का एक विशेष मामला है।

चुनें $a=1$ तथा $b=-1$, ताकि $x-y=c$ किसी भी दिए के लिए केवल बहुत से समाधान हैं $c$। इसलिए केवल बहुत सारे जोड़े हैं$x,y$ साथ में $|x-y|<M$ किसी भी दिए के लिए $M$।

दुर्भाग्य से, सीगल का प्रमेय किसी भी तरह से प्राथमिक नहीं है। मुझे संदेह है कि कोई प्राथमिक प्रमाण नहीं है।