एक जिज्ञासु संपत्ति के साथ एक फ़ंक्शन का उदाहरण

Aug 16 2020

द्वारा निरूपित करें $L^1(0,1)$ अंतराल पर Lebesgue के पूर्णांक के कार्य $(0,1)$

$\textbf{Question:}$ क्या कोई फ़ंक्शन मौजूद है $F:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ ऐसा है कि:

  1. $\frac{F(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
  2. $\frac{F'(x)}{x}\in L^1(0,1)$,
  3. $\frac{F(x)}{x^2}\notin L^1(0,1)$?

मैं अनुमान लगा रहा हूं कि उत्तर सकारात्मक है और बिंदु निर्माण करना है $F$ ऐसा है कि $F$ तथा $F'$शून्य के पास उपयुक्त व्यवहार करें। यह काफी नाजुक लगता है। मैंने वो चेक किया$F$ एक बहुपद या एक शक्ति समारोह नहीं हो सकता (तब से $F'\simeq \frac{F}x$, इस प्रकार 2 और 3 की स्थिति एक साथ नहीं हो सकती)।

मैं किसी भी संकेत की सराहना करेंगे!

जवाब

11 FedorPetrov Aug 16 2020 at 05:59

ऐसा कोई समारोह नहीं है। सबसे पहले,$|F(a)-F(b)|\leqslant \int_a^b |F'(x)|dx\to 0$ कब अ $a,b\to 0$। इसलिए$F$ एक सीमा है $c$ बिंदु 0. पर $c\ne 0$, तो 1) विफल रहता है। इसलिए$\lim_{x\to 0} F(x)=0$

आगे, $$|F(a)|\leqslant \int_{0}^a|F'(x)|dx\leqslant a\int_{0}^a\frac{|F'(x)|}x dx=o(a),\quad\text{when}\quad a\to 0.\quad (1)$$ अभी $$ \int_a^b \frac{F(x)}{x^2}dx=\frac{F(a)}a-\frac{F(b)}b+\int_a^b \frac{F'(x)}xdx. \quad(2) $$ दो मामलों पर विचार करें:

  1. $F$ 0 के पास निश्चित चिन्ह है $a,b$ 0 के करीब हम (1) और (2) से निष्कर्ष निकालते हैं $\int \frac{F(x)}{x^2}dx$ 0 पर अभिसरण होता है, लेकिन यह अभिसरण के समतुल्य है $\int \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ जो हमें चाहिए।

  2. $F$ 0. के किसी भी पड़ोस में असीम रूप से कई शून्य हैं $(a_k,b_k)$ खुले सेट का समावेश-अधिकतम अंतराल $\{x:F(x)\ne 0\}$ और (2) के लिए आवेदन करना $a=a_k,b=b_k$ हम बाध्य हैं $\int_0^c \frac{|F(x)|}{x^2}dx$ के जरिए $\int_0^c \frac{|F'(x)|}{x}dx$। यहाँ$c=b_1$, उदाहरण के लिए।