एक कार्य करता है जो एक टेलर श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया गया है जो परिवर्तनीय और / या अभिसरण की सीमा में निरंतर है

Question

मान लीजिए कि f (x) के पड़ोस में असीम रूप से भिन्न कार्य है $0$, और उसके आसपास के टेलर श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या $0$, $\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$, 8 है।

क्या इसका मतलब यह है कि $f(x)$ निरंतर और / या भिन्न है $(-8,8)?$ और क्यों?

Answer 1

नहीं वह नहीं करता। मसलन, मैं कोई भी पावर सीरीज ले सकता हूं$\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$ अभिसरण की त्रिज्या के साथ $8$, और फिर परिभाषित करें

$$\begin{align*}f:&\mathbb R\to\mathbb R\\ &x\mapsto\begin{cases}\sum_{k=0}^\infty a_k x^k&x\in(-1,1)\\0&\textrm{otherwise.}\end{cases}\end{align*}$$

इस समारोह के टेलर विस्तार के आसपास $0$ केवल दी गई विद्युत श्रृंखला है, लेकिन यह केवल अंतराल के भीतर विद्युत श्रृंखला से सहमत है $(-1,1)$भले ही बिजली श्रृंखला में अभिसरण की बड़ी त्रिज्या हो। लेकिन अगर$f$ वास्तव में अपनी टेलर श्रृंखला से सहमत है $(-8,8)$, दूसरे शब्दों में, यह विश्लेषणात्मक है, तो हाँ, यह पूरे अंतराल पर अलग-अलग (यहां तक ​​कि अक्सर अक्सर) अलग होगा। लेकिन विश्लेषणात्मकता बहुत मजबूत स्थिति है, इसलिए आप इसे हमेशा नहीं मान सकते।

Answer 2

दिए के बीच संबंध $f$फ़ंक्शन और इसकी टेलर श्रृंखला मुश्किल हो सकती है। यह प्रसिद्ध उदाहरण है$$f(x)=\begin{cases} e^{-\frac{1}{x^2}}, & x \ne 0 \\ 0, & x=0 \end{cases} $$ जो असीम रूप से भिन्न है $f^{(n)}(0)=0, \forall n \in \mathbb{N}$। टेलर श्रृंखला$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = 0$ सभी पर एकाग्र होता है $\mathbb{R}$, अर्थात इसके अभिसरण की त्रिज्या है $R=\infty$लेकिन केवल मूल में कार्य के साथ मेल खाता है। अब हम कुछ फंक्शन ले सकते हैं$g$ जो बराबर हो $f$ केवल मूल के कुछ पड़ोस में, लेकिन बाहर किसी भी प्रकार का हो सकता है, उदाहरण के लिए निरंतर नहीं।

इसलिए यह दी गई के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति के लिए उपयोगी है$\boldsymbol{f}$ अभिसरण अंतराल पर अपनी टेलर श्रृंखला द्वारा प्रतिनिधित्व करने योग्य कार्य$(-R,R)$, कहां है $R$अभिसरण की त्रिज्या है। एक निम्नलिखित है:

टेलर मैक्लॉरिन रूप में शेष $R_{n+1}=\left( \frac{x-a}{x-\xi} \right)^p\frac{(x-\xi)^{n+1}}{n!p}f^{(n+1)}(\xi)$ दिए गए अंतराल पर जाता है $0$, कहां है $p>0$, $\xi$ के बीच $x$ तथा $a$।