एक कॉम्पैक्ट जटिल सतह पर, प्रत्येक होलोमॉर्फिक 1-फॉर्म बंद है

Question

एक कॉम्पैक्ट जटिल कई गुना $X$ दो आयाम के साथ। फिर हर होलोमॉर्फिक 1-फॉर्म $\omega\in H^{0}(X,\Omega^{1})$ संतुष्ट करता है $d\omega=0$। मैं एक सरल विधि द्वारा इस समस्या को हल करना जानना चाहता हूं।

Answer 1

कब $X$ कॉम्पैक्ट काहलर, उसके बाद हॉज प्रमेय, $H^0(X,\Omega^1)\cong H^{1,0}(X)$ सभी को हार्मोनिक रूपों द्वारा दर्शाया गया है, विशेष रूप से, हर होलोमोर्फिक $1$-फॉर्म हार्मोनिक हैं, इसलिए बंद हैं।

सामान्य तौर पर, के साथ काम करते हैं $X$एक कॉम्पैक्ट जटिल सतह। चलो$\omega$ एक होलोमोर्फिक 1-फॉर्म पर $X$, फिर स्टोक्स प्रमेय द्वारा,

$$\int_{X}d\omega\wedge d\bar{\omega}=\int_Xd(\omega\wedge d \bar{\omega})=0.\tag{1}\label{1}$$

दूसरी ओर, लिखें $d\omega=fdz_1\wedge dz_2$ स्थानीय स्तर पर $f$ होलोमोर्फिक, इसलिए $$d\omega\wedge d\bar{\omega}=-|f|^2dz_1\wedge d\bar{z}_1\wedge dz_2\wedge d\bar{z}_2=4|f|^2dx_1\wedge dy_1\wedge dx_2\wedge dy_2,$$

साथ से $z_j=x_j+iy_j$, $j=1,2$। अब हालत$(\ref{1})$ का तात्पर्य $f=0$, तोह फिर $d\omega=0$।