एक निश्चित सबसेट को साबित करना एक सीडब्ल्यू सबकोम्पलेक्स है

Question

मुझे हैचर के बीजीय टोपोलॉजी (प्रो। ए। 1 पर जी। 520 से रुचि रखने वालों के लिए एक प्रमाण में विस्तार से कुछ परेशानी हो रही है , हालांकि मुझे नहीं लगता कि यह प्रासंगिक है): हमारे पास एक सीडब्ल्यू जटिल है$X$ और एक $n$-सेल $e_\alpha^n \subset X$, और इस सेल के संलग्न मानचित्र की छवि एक परिमित उपसमुच्चय में निहित है $A \subset X$। हैचर का दावा है कि$A \cup e_\alpha^n$एक सूक्ष्म उपसर्ग है, लेकिन मुझे यह देखने में परेशानी हो रही है कि क्यों। मैं यह दिखाने की कोशिश कर रहा हूं कि सीमा$e_\alpha^n$ में समाहित है $A$लेकिन मैं कहीं नहीं जा रहा हूं। क्या यह सामान्य रूप से सही है कि ए का बंद होना$n$-सेल अपने अटैचमेंट मैप की छवि के साथ इसका मिलन है?

संपादित करें: मैं इस तथ्य को साबित किए बिना यह साबित करना चाहूंगा कि सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स हौसडॉर्फ हैं, क्योंकि पुस्तक ने अभी तक यह साबित नहीं किया है।

Answer 1

सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स दिखाना बेहद आसान है, हॉसडॉर्फ है, इसे अपने प्रमाण में शामिल करें यदि आप इसके बारे में चिंतित हैं।

इस तथ्य के साथ, एक खुली कोशिका का बंद होना $e \rightarrow X$ की छवि है $e \cup S^n \rightarrow X$ओपन सेल के शामिल किए जाने और सीमा पर विशेषता मानचित्र द्वारा दिया गया। यह है क्योंकि$e \cup S^n = D^{n+1}$कॉम्पैक्ट है, और एक कॉम्पैक्ट सेट की छवि कॉम्पैक्ट है जो एक हॉसडॉर्फ स्थान का अर्थ है जो बंद है। यह सबसे छोटा बंद सेट है जिसमें की छवि है$e$ चूँकि चारित्रिक मानचित्र की छवि में कोई बिंदु छवि की सीमा में है $e$।