एक ऑपरेटर की सकारात्मकता
एक फ़ंक्शन पर विचार करें $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ कक्षा के $C^1$। अगर$f(0)=0$ तथा $f'(0)>0$ यह स्पष्ट है कि कुछ मौजूद हैं $t_0>0$ ऐसा है कि $f(t_0)>0$।
अब अगर $f:\mathbb{R}\to \mathcal{M}^{n\times n}(\mathbb{R})$ कक्षा के $C^1$, कहां है $\mathcal{M}^{n\times n}$ असली हैं $n\times n$ मेट्रिसेस, यदि $f(0)=0$ और अगर $f'(0)$ एक कड़ाई से सकारात्मक परिभाषित मैट्रिक्स है, फिर से एक होगा $t_0$ ऐसा है कि $f(t_0)$ एक कड़ाई से सकारात्मक परिभाषित मैट्रिक्स है।
सवाल यह है कि क्या यह ऑपरेटरों के लिए भी सच है? विशेष रूप से, चलो$f:\mathbb{R}\to \mathcal{O}$ कक्षा के $C^1$, कहां है $\mathcal{O}$ कुछ अलग हिल्बर्ट स्पेस पर कॉम्पैक्ट सेल्फ-अपॉइंट ऑपरेटर्स का सेट है $\mathcal{H}$। चलो$f(0)=0$ और मान लीजिए कि $f'(0)$ एक कॉम्पैक्ट पॉजिटिव सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर है, क्या यह सच है कि एक होना चाहिए $t_0$ ऐसा है कि $f(t_0)$ सकारात्मक है?
जवाब
सं। प्रतिपक्ष: चलो $H = \ell^2$ तथा $M : H \to H$ द्वारा दिया जाए
$$ M(x_1, x_2, \cdots, x_n , \cdots) = \left( x_1, \frac{x_2}{2}, \cdots, \frac{x_n}{n}, \cdots \right).$$
फिर $M$कॉम्पैक्ट (परिमित रैंक ऑपरेटरों की सीमाएं), स्व-सहायक और सकारात्मक है। अगला चलो$\varphi: \mathbb R \to \mathbb R$ एक चिकनी विषम कार्य हो ताकि
- $\varphi(t) = t$ पर $[-1,1]$,
- $|\varphi (t)|\le 1.1$
- $\varphi$ पर घट रहा है $[1.1, 2]$ तथा
- $ \varphi(t) = 0$ पर $[2, \infty)$।
प्रत्येक के लिए $n$, परिभाषित करें $\varphi_n (t) = \frac{1}{2^n }\varphi (2^n t)$। परिभाषित करें$ M_t:=f(t)$ द्वारा द्वारा $$ M_t (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left(\varphi _1(t) x_1, \frac{\varphi_2(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n (t)}{n} x_n, \cdots\right).$$
फिर $M_0 = 0$ और प्रत्येक $M_t$आत्म-आसन्न है, परिमित रैंक (इस प्रकार गैर-सकारात्मक)। इसके अलावा,$f$ है $C^1$। वास्तव में वह जाँच कर सकता है$$f'(t) (x_1,x_2, \cdots, x_n, \cdots ) = \left( \varphi_1'(t) x_1, \frac{\varphi_2'(t)}{2} x_2, \cdots, \frac{\varphi_n'(t)}{n} x_n, \cdots \right).$$ जबसे $\varphi_n'(0)=1$ सबके लिए $n$, अपने पास $f'(0) = M$।