एक रिंग और एक श्रेणी का गुणक प्रणाली

Question

यदि A किसी श्रेणी, आकारिकी का एक वर्ग है$S$में एक एक होना कहा जाता है गुणक प्रणाली है कि क्या$(a)$ यह संरचना द्वारा बंद है, जो है: $id_X$ में है $S$ हर एक के लिए $X$में एक और जब भी$f$ तथा $g$A में आकारिकी हैं जैसे कि रचना$gf$ समझ में आता है, तब $gf$ में है $S$; $(b)$ फार्म का कोई भी आरेख $X\overset{f}\longrightarrow Y \overset{s}\longleftarrow Z$ साथ से $s$ में है $S$ के रूप में पूरा किया जा सकता है $\require{AMScd}$ \ start {CD} W @> g >> Z \\ @VtVV @VVsV \\ X @ >> f> Y \ end {CD} के साथ$t$ में है $S$। वही सब बाणों के साथ भी उलटा हुआ। आखिरकार$(c)$ आकारिकी की एक जोड़ी के लिए $f,g:X\to Y$ वहां मौजूद $s$ में है $S$ साथ से $sf=sg$ अगर और केवल अगर वहाँ मौजूद है $t$ में है $S$ साथ से $ft=gt$।

मेरा प्रश्न है: क्या यह परिभाषा किसी भी अंगूठी के लिए गुणात्मक रूप से बंद सेट की धारणा से मेल खाती है$R$ अगर हम देखें $R$एक वस्तु के रूप में एब-श्रेणी के रूप में ? निश्चित रूप से शर्त$(a)$ ठीक वैसा ही प्रदान करता है जैसा हम एक गुणात्मक रूप से बंद सेट के लिए चाहते हैं (जो एक सबसेट है $S\subseteq R$ ऐसा है कि $1\in S$ तथा $x,y\in S\Rightarrow xy,yx\in S$), और अगर $R$ सराहनीय है, $(b)$ तथा $(c)$ स्पष्ट हो जाएं, लेकिन एक गैर-कम्यूटेटिव रिंग के मामले में मुझे इन स्थितियों का प्रमाण नहीं मिल सकता है।

किसी को भी एक सबूत या एक प्रतिरूप प्रदान कर सकता है? यदि एक प्रतिसाद का उत्तर है, तो क्या कोई गंभीर कारण है कि यह केवल कम्यूटेटिव मामले में काम करता है, या यह केवल इन मामलों को सामान्य बनाने के लिए बहुसांस्कृतिक प्रणाली की धारणा है?

Answer 1

हां, यह मेल खाता है, बल्कि तुच्छ (कम्यूटेटिव केस में)।

अपनी (कम्यूटेटिव अनिटल) रिंग देखें $R$एक श्रेणी के रूप में निम्नानुसार है। द$R$-मॉडल की कार्रवाई $R$ खुद पर एक रूपवाद लाती है $\iota: R \to \mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(R,R)$, इसलिए हम श्रेणी को एक वस्तु (अर्थात्) के साथ विचार कर सकते हैं $R$) और आकारिकी का सेट है $\iota(R)$। तथ्य यह है कि यह एक रूप है$\mathbf{Ab}$-श्रेणी एक अंगूठी के स्वयंसिद्ध का हिस्सा है। पहचान के लिए मौजूद अस्मिता के लिए आपको अंगूठी की आवश्यकता होनी चाहिए, और कम्यूटेटिविटी आपको अन्य स्वयंसिद्धता प्रदान करती है। उदाहरण के लिए, यदि आपको दिया जाता है$\require{AMScd}$ \ start {CD} R @> f >> R @ <s << R \ end {CD} आपको मूल रूप से मूल अंगूठी के दो तत्व दिए गए हैं$R$। ऐसा मानकर आरेख को आसानी से पूरा किया जा सकता है$R$ कब से सराहनीय है $sf = fs$ कम्यूटेटिव आरेख की ओर जाता है $\require{AMScd}$ \ start {CD} R @> f >> R \\ @VsVV @VVsV \\ R @ >> f> R \ end {CD} कथन (c) इसी तरह से सिद्ध होता है$t=s$। मुझे पता नहीं है कि सबसेट पर गैर-कम्यूटेटिव रिंग्स को स्थानीय बनाना$S$ सामान्य तौर पर, लेकिन मैं शर्त लगाता हूं कि अगर इन विचारों का अर्थ है, तो स्थानीयकरण $S^{-1}R$ जब मौजूद होगा $R$विशिष्ट मामले में गैर-कम्यूटेटिव है, जहां उन श्रेणीबद्ध स्वयंसिद्ध संतुष्ट हैं, लेकिन सामान्य रूप से नहीं। मैंने पढ़ा है यह गैर विनिमेय स्थानीयकरण के बारे में थोड़ा पता करने के लिए, और यह विनिमेय समकक्ष के रूप में प्रेरणादायक के रूप में महसूस नहीं करता है।

उम्मीद है की वो मदद करदे,