एक सबवेर्गेन (आविष्कार की गई परिभाषा) श्रृंखला के बारे में बुनियादी तथ्यों को साबित या अस्वीकृत करें
मैं Understanding Analysisस्टीफन एबॉट द्वारा आत्म-विश्लेषण वास्तविक विश्लेषण कर रहा हूं । मैं पूछना चाहता हूं कि क्या मैंने एक उपश्रेणी (आविष्कृत परिभाषा) श्रृंखला के बारे में नीचे दिए गए निष्कर्षों के लिए सही निष्कर्ष निकाला है ।
$\newcommand{\absval}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert}$
परिभाषा । मान लीजिए कि एक श्रृंखला में यदि सबमर्सिबल के अनुक्रम में एक सबरेंस होता है, तो एक कन्वर्सेशन होता है जो कन्वर्जेंस करता है।
एक पल के लिए इसकी (आविष्कार की) परिभाषा पर विचार करें, और फिर तय करें कि निम्नलिखित कथनों में से कौन सी सबवेरीज़ेंट श्रृंखला के बारे में मान्य प्रस्ताव हैं:
(a) यदि $(a_n)$ बाध्य है, तो $\sum a_n$ तोड़फोड़ करता है।
(b) सभी अभिसरण श्रृंखला उपश्रेणी हैं।
(c) यदि $\sum \absval{a_n}$ तब डूब जाता है $\sum a_n$ के रूप में अच्छी तरह से।
(d) यदि $\sum a_n$ तब डूब जाता है $(a_n)$ एक अभिसरणीय परवर्ती है।
सबूत। (a) यह प्रस्ताव गलत है। एक प्रतिरूप के रूप में, अनुक्रम पर विचार करें$(a_n):=1$। आंशिक रकम का क्रम है$s_1 = 1, s_2 = 2, s_3 = 3, \ldots, s_n = n,\ldots$। की कोई बाद नहीं$(s_n)$जुटता है। इसलिए,$\sum {a_n}$ उदासीन नहीं है।
(b) चूंकि श्रृंखला अभिसरण है, इसलिए आंशिक रकमों का अनुक्रम परिवर्तित हो जाता है और इसलिए आंशिक रकमों का कोई भी क्रम भी उसी सीमा तक परिवर्तित हो जाता है। इस प्रकार, सभी अभिसरण श्रृंखला उपश्रेणी हैं।
(ग) मुझे लगता है कि यह प्रस्ताव सत्य है। चलो$(s_n)$ पूर्ण मानों के आंशिक योगों का क्रम हो और $(t_n)$ श्रृंखला के आंशिक रकम का अनुक्रम हो $\sum a_n$।
उपनयन की परिभाषा से, बाद में कुछ होता है $(s_{f(n)})$ का $(s_n)$वह एकाग्र होता है। व्यापकता के नुकसान के बिना, मान लें$(s_{2n})$एक ऐसा अभिसरणीय परिणाम है। फिर, एक मौजूद है$N \in \mathbf{N}$ ऐसा है कि, \begin{align*} \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m + 4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}} < \epsilon \end{align*}
सबके लिए $n > m \ge N$।
इस तथ्य का उपयोग करते हुए, हम बाद के लिए एक अच्छी असमानता लिख सकते हैं $(t_{2n})$। \begin{align*} \absval{t_{2n} - t_{2m}} &= \absval{a_{2m+2} + a_{2m+4} + \ldots + a_{2n}}\\ &\le \absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}\\ &\le \absval{\absval{a_{2m+2}} + \absval{a_{2m+4}} + \ldots + \absval{a_{2n}}}\\ &< \epsilon \end{align*}
सबके लिए $n \ge N$।
जैसा कि उपरोक्त सभी अनुवर्ती के लिए सही है $(s_{f(n)})$ कहां है $f(n):\mathbf{N} \to \mathbf{N}$ एक आपत्ति है, $\sum a_n$ उपशम है।
(d) मैं इसके लिए एक प्रतिरूप के बारे में नहीं सोच सकता।
जवाब
- क) के लिए आपका प्रमाण ठीक है
- बी के लिए), ठीक है
- ग के लिए), मैंने लिखा होगा:
चलो $a_n^+=\max \{0, a_n\}$ तथा $a_n^- = \max \{0, -a_n\}$ सबके लिए $n$।
फिर सभी के लिए $n$, $|a_n|=a_n^+ + a_n^-$ तथा $a_n = a_n^+ - a_n^-$।
जबसे $\sum |a_n|$ उपश्रेणी है, और $0\leqslant a_n^+ \leqslant |a_n|$ तथा $0\leqslant a_n^- \leqslant |a_n|$, हमारे पास वह है $\sum a_n^+$ तथा $\sum a_n^-$ उपशम हैं, इसलिए राशि $\sum a_n$ उपशम है।
(तथ्य यह है कि अगर $\sum u_n$ के साथ अभिसरण करता है $(u_n)$ सकारात्मक, फिर सभी के लिए $(v_n)$ सकारात्मक ऐसा है $\forall n,v_n\leqslant u_n$ सबवेर्ज़ एक सबूत के लायक होगा, लेकिन यह उतना मुश्किल नहीं है)
- डी के लिए) मैं परिभाषित करता हूं $(a_n)$ इस तरह के लिए $n\geqslant 0$,
$a_{2n} = -n$ तथा $a_{2n+1} = n + \frac{1}{n^2}$।
फिर $\sum a_n$ के बाद से (अगर हम ध्यान दें $S_n = \sum\limits_{k=0}^n a_n$) $S_{2n+1} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ जब परिवर्तित $n\rightarrow +\infty$।
लेकिन हमारे पास स्पष्ट रूप से एक परिकल्पना नहीं है जो अभिसरण करती है।